Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L ,

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite de quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão utilizando logaritmos. Isso facilita o manuseio de potências quando estamos lidando com limites. Vamos chamar o limite que queremos encontrar de :
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo .

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital, que diz que se dá uma forma indeterminada ou , então podemos calcular:
No nosso caso, e .

Passo 4

Calculando as derivadas de e :
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital:

Passo 5

Agora que temos , precisamos encontrar . Para isso, aplicamos a função exponencial nos dois lados:

Resposta

O limite é .

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Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta. Se é uma circunferência de raio e é uma circunferência de raio , em que , então a curvatura de é maior do que a curvatura de , em qualquer ponto.