Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L lim x +infty x^1 / ln x,

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite de quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão utilizando logaritmos. Isso facilita o manuseio de potências quando estamos lidando com limites. Vamos chamar o limite que queremos encontrar de L = limx to +infty x^1 / ln x :
ln L = limx to +infty ln xln x
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo .

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital, que diz que se limx to a f'(x)g'(x) dá uma forma indeterminada ou , então podemos calcular:
No nosso caso, e .

Passo 4

Calculando as derivadas de f'(x) = 1x e g'(x) = 1x e ln L = limx to +infty 1x1x = limx to +infty 1 = 1 :
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital:

Passo 5

Agora que temos L = e^ln L = e^1 = e , precisamos encontrar . Para isso, aplicamos a função exponencial nos dois lados:

Resposta

O limite é .

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