Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L
,
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão utilizando logaritmos. Isso facilita o manuseio de potências quando estamos lidando com limites. Vamos chamar o limite que queremos encontrar de
:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
.
Passo 3
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital, que diz que se
dá uma forma indeterminada
ou
, então podemos calcular:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas de
e
:
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 5
Agora que temos
, precisamos encontrar
. Para isso, aplicamos a função exponencial nos dois lados:
Resposta
O limite é
.