Determine a altura de água e a declividade de fundo de um canal trapezoidal com taludes 3 H: 1 V, coeficiente de rugosidade n=0 , 0 3 0, vazâo 2 , 0 m^3 / s, largura de fundo igual a 2,0 m e velocidade média de 0,80 m / s.
R: y0=0,64 m ; t0=0,00187 m / m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre hidráulica de canais trapezoidais. A gente precisa descobrir duas coisas: a altura da água no canal e a declividade do fundo. Para isso, vamos precisar usar a Equação de Manning, que relaciona vazão, geometria do canal e declividade. Vamos usar os dados fornecidos:
  • Taludes de 3H:1V (horizontal:vertical)
  • Coeficiente de rugosidade $ n = 0,030 $
  • Vazão $ Q = 2,0 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $
  • Largura do fundo $ B = 2,0 , \mathrm{m} $
  • Velocidade média $ V = 0,80 , \mathrm{m}/\mathrm{s} $

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a vazão ($ Q Q éáçã A A é V $) pela fórmula:
V
A gente precisa encontrar $ A $, então vamos rearranjar a fórmula para:
Q = A times V
Substituindo os valores que temos:
A

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal de um canal trapezoidal. A fórmula é:
A = ( B + z times y ) times y
Onde:
  • $ B $ é a largura do fundo (2,0 m)
  • $ z $ é a inclinação dos taludes horizontais (3H:1V, então $ z = 3 $)
  • $ y $ é a altura da água que queremos encontrar
Sabemos que $ A = 2,5 , \mathrm{m}^2 $, então:
B
z
z = 3
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar $ y $.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática:
3y^2 + 2,0y - 2,5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • $ a = 3 $
  • $ b = 2,0 $
  • $ c = -2,5 $
Calculando o discriminante:
a = 3
Agora, substituindo na fórmula:
b = 2,0
Como a altura não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:
c = -2,5
Arredondando, temos:
De

Passo 5

Com a altura da água encontrada ($ y \approx 0,64 , \mathrm{m} y approx 0,64 , m S $). Aqui, usamos a Equação de Manning:
S
Onde:
  • $ Q = 2,0 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $
  • $ n = 0,030 $
  • $ A = 2,5 , \mathrm{m}^2 $
  • $ R $ é o raio hidráulico, dado por $ R = \frac{A}{P} $, onde $ P $ é o perímetro molhado
Primeiro, vamos calcular o perímetro molhado ($ P $) do canal trapezoidal:
Q = 1n A R^2/3 S^1/2
Agora, o raio hidráulico:
Q = 2,0 , m^3/s
Substituindo na Equação de Manning:
n = 0,030
Vamos resolver para $ S $:
A = 2,5 , m^2
Calculando $ 0,413^{2/3} \approx 0,587 $:
R
R = AP
P
P
Elevando ao quadrado:
P = B + 2 times y times raiz1 + z^2 = 2,0 + 2 times 0,64 times raiz1 + 3^2 = 2,0 + 2 times 0,64 times raiz10 approx 2,0 + 2 times 0,64 times 3,162 = 2,0 + 4,055 approx 6,055 , m

Resposta

A altura da água é de aproximadamente 0,64 metros e a declividade do fundo é 0,00187 m/m.

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