Determine a altura de água e a declividade de fundo de um canal trapezoidal com taludes
, coeficiente de rugosidade
, vazâo
, largura de fundo igual a 2,0 m e velocidade média de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre hidráulica de canais trapezoidais. A gente precisa descobrir duas coisas: a altura da água no canal e a declividade do fundo. Para isso, vamos precisar usar a Equação de Manning, que relaciona vazão, geometria do canal e declividade. Vamos usar os dados fornecidos:
- Taludes de 3H:1V (horizontal:vertical)
- Coeficiente de rugosidade $ n = 0,030 $
- Vazão $ Q = 2,0 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $
- Largura do fundo $ B = 2,0 , \mathrm{m} $
- Velocidade média $ V = 0,80 , \mathrm{m}/\mathrm{s} $
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a vazão ($ Q
A
V $) pela fórmula:
A gente precisa encontrar $ A $, então vamos rearranjar a fórmula para:
Substituindo os valores que temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da seção transversal de um canal trapezoidal. A fórmula é:
Onde:
- $ B $ é a largura do fundo (2,0 m)
- $ z $ é a inclinação dos taludes horizontais (3H:1V, então $ z = 3 $)
- $ y $ é a altura da água que queremos encontrar
Sabemos que $ A = 2,5 , \mathrm{m}^2 $, então:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar $ y $.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 3 $
- $ b = 2,0 $
- $ c = -2,5 $
Calculando o discriminante:
Agora, substituindo na fórmula:
Como a altura não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:
Arredondando, temos:
Passo 5
Com a altura da água encontrada ($ y \approx 0,64 , \mathrm{m}
S $). Aqui, usamos a Equação de Manning:
Onde:
- $ Q = 2,0 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $
- $ n = 0,030 $
- $ A = 2,5 , \mathrm{m}^2 $
- $ R $ é o raio hidráulico, dado por $ R = \frac{A}{P} $, onde $ P $ é o perímetro molhado
Primeiro, vamos calcular o perímetro molhado ($ P $) do canal trapezoidal:
Agora, o raio hidráulico:
Substituindo na Equação de Manning:
Vamos resolver para $ S $:
Calculando $ 0,413^{2/3} \approx 0,587 $:
Elevando ao quadrado:
Resposta
A altura da água é de aproximadamente 0,64 metros e a declividade do fundo é 0,00187 m/m.