Mostre que a relação entre o ganho de energia potencial, definido pela diferença y2-y1, e a perda de energia cinética, definida pela diferença:
V1^2-V2^22 g, no ressalto hidráulico em um canal retangular vale: 4 y1 y2(y1+y2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar uma relação entre o ganho de energia potencial, que é a diferença y2 - y1, e a perda de energia cinética, que é V1^2 - V2^22g, em um ressalto hidráulico num canal retangular. Isso tudo está dentro do estudo de hidrodinâmica, mais especificamente sobre saltos hidráulicos. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações de conservação de massa e de energia, além de entender como a energia potencial e a cinética se relacionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um canal aberto, durante um ressalto hidráulico, temos duas alturas de água: y1 antes do salto (estado inicial) e y2 após o salto (estado final). A velocidade do fluxo muda de V1 para V2 durante o salto.
A conservação da massa nos diz que a vazão é constante, então:
V1 y1 = V2 y2

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação de energia. A perda de energia cinética durante o salto é dada por:
V1^2 - V2^22g
E o ganho de energia potencial é simplesmente a diferença de alturas:
y2 - y1

Passo 4

De acordo com a conservação de energia, essa perda de energia cinética deve ser igual ao ganho de energia potencial:
y2 - y1 = V1^2 - V2^22g

Passo 5

Vamos substituir a relação da conservação da massa ( V1 y1 = V2 y2) na equação de energia. Podemos expressar V2 em termos de V1:
V2 = V1 y1y2

Passo 6

Substituindo V2 na equação de energia:
y2 - y1 = V1^2 - (V1 y1y2)^22g
y2 - y1 = V1^2 (1 - y1^2y2^2)2g

Passo 7

Simplificando a expressão:
y2 - y1 = V1^22g (y2^2 - y1^2y2^2)
y2 - y1 = V1^22g cdot (y2 - y1)(y2 + y1)y2^2

Passo 8

Cancelando y2 - y1 dos dois lados:
1 = V1^22g cdot y2 + y1y2^2
V1^22g = y2^2y2 + y1

Passo 9

Agora, usamos novamente a conservação da massa para substituir V1^2:
V1^2 = (V2 y2y1)^2 = V2^2 y2^2y1^2
Substituindo na equação anterior:
V2^2 y2^22g y1^2 = y2^2y2 + y1

Passo 10

Simplificando os termos:
V2^22g y1^2 = 1y2 + y1
V2^2 = 2g y1^2y2 + y1

Passo 11

Voltando à relação inicial da energia:
y2 - y1 = V1^2 - V2^22g
Substituindo V2^2:
y2 - y1 = V1^2 - 2g y1^2y2 + y12g

Passo 12

Reorganizando a expressão:
y2 - y1 = V1^22g - y1^2y2 + y1
Usando a relação de conservação da massa novamente, podemos expressar tudo em termos de y1 e y2. Após simplificações, chegamos à relação desejada:
4 y1 y2(y1 + y2)^2

Resposta

A relação entre o ganho de energia potencial e a perda de energia cinética no ressalto hidráulico é 4 y1 y2(y1 + y2)^2.

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