Mostre que a relação entre o ganho de energia potencial, definido pela diferença
, e a perda de energia cinética, definida pela diferença:
, no ressalto hidráulico em um canal retangular vale:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar uma relação entre o ganho de energia potencial, que é a diferença
, e a perda de energia cinética, que é
, em um ressalto hidráulico num canal retangular. Isso tudo está dentro do estudo de hidrodinâmica, mais especificamente sobre saltos hidráulicos. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações de conservação de massa e de energia, além de entender como a energia potencial e a cinética se relacionam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um canal aberto, durante um ressalto hidráulico, temos duas alturas de água:
antes do salto (estado inicial) e
após o salto (estado final). A velocidade do fluxo muda de
para
durante o salto.
A conservação da massa nos diz que a vazão é constante, então:
Passo 3
Agora, vamos usar a conservação de energia. A perda de energia cinética durante o salto é dada por:
E o ganho de energia potencial é simplesmente a diferença de alturas:
Passo 4
De acordo com a conservação de energia, essa perda de energia cinética deve ser igual ao ganho de energia potencial:
Passo 5
Vamos substituir a relação da conservação da massa (
) na equação de energia. Podemos expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituindo
na equação de energia:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Cancelando
dos dois lados:
Passo 9
Agora, usamos novamente a conservação da massa para substituir
:
Substituindo na equação anterior:
Passo 10
Simplificando os termos:
Passo 11
Voltando à relação inicial da energia:
Substituindo
:
Passo 12
Reorganizando a expressão:
Usando a relação de conservação da massa novamente, podemos expressar tudo em termos de
e
. Após simplificações, chegamos à relação desejada:
Resposta
A relação entre o ganho de energia potencial e a perda de energia cinética no ressalto hidráulico é
.