Seja A uma matriz quadrada n times n com det A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de linhas de A é linearmente independente.
II - A não é injetiva.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos lá! Temos uma matriz quadrada de tamanho com determinante igual a zero ( ). A pergunta nos apresenta duas afirmações sobre essa matriz e nos pede para identificar quais são verdadeiras. Para resolver, precisamos entender conceitos de determinante, independência linear e injetividade de matrizes.

Passo 2

Afirmação I: “O conjunto de linhas de é linearmente independente.”
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz está relacionado à sua inversibilidade e à independência linear das suas linhas (ou colunas). Se , isso significa que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos uma linha pode ser escrita como combinação linear das outras.
Portanto, a Afirmação I é falsa porque as linhas não são linearmente independentes.

Passo 3

Afirmação II: “A matriz não é injetiva.”
Uma matriz é injetiva (ou seja, uma função linear injetora) se e somente se ela é invertível. E sabemos que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero.
Como , a matriz não é invertível, o que implica que ela não é injetiva.
Portanto, a Afirmação II é verdadeira.

Resposta

A opção correta é a (B) Apenas II é verdadeira.

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