Vamos lá! Temos uma matriz quadrada de tamanho com determinante igual a zero (). A pergunta nos apresenta duas afirmações sobre essa matriz e nos pede para identificar quais são verdadeiras. Para resolver, precisamos entender conceitos de determinante, independência linear e injetividade de matrizes.
Passo 2
Afirmação I: “O conjunto de linhas de é linearmente independente.”
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz está relacionado à sua inversibilidade e à independência linear das suas linhas (ou colunas). Se , isso significa que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos uma linha pode ser escrita como combinação linear das outras.
Portanto, a Afirmação I é falsa porque as linhas não são linearmente independentes.
Passo 3
Afirmação II: “A matriz não é injetiva.”
Uma matriz é injetiva (ou seja, uma função linear injetora) se e somente se ela é invertível. E sabemos que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero.
Como , a matriz não é invertível, o que implica que ela não é injetiva.