Seja
uma matriz quadrada
com
. Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de linhas de
é linearmente independente.
II -
não é injetiva.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - O conjunto de linhas de
II -
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos lá! Temos uma matriz quadrada
de tamanho
com determinante igual a zero (
). A pergunta nos apresenta duas afirmações sobre essa matriz e nos pede para identificar quais são verdadeiras. Para resolver, precisamos entender conceitos de determinante, independência linear e injetividade de matrizes.
Passo 2
Afirmação I: “O conjunto de linhas de
é linearmente independente.”
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz está relacionado à sua inversibilidade e à independência linear das suas linhas (ou colunas). Se
, isso significa que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos uma linha pode ser escrita como combinação linear das outras.
Portanto, a Afirmação I é falsa porque as linhas não são linearmente independentes.
Passo 3
Afirmação II: “A matriz
não é injetiva.”
Uma matriz é injetiva (ou seja, uma função linear injetora) se e somente se ela é invertível. E sabemos que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero.
Como
, a matriz
não é invertível, o que implica que ela não é injetiva.
Portanto, a Afirmação II é verdadeira.
Resposta
A opção correta é a (B) Apenas II é verdadeira.