Determine o ângulo entre os seguintes planos
alpha:lx=1+h-t y=h+2 t ; z=h h, t in R e beta:lx=2+t y=-2 h ; z=h+t h, t in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o ângulo entre dois planos que estão definidos pelas equações dadas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente no estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os vetores normais de cada plano e usar a fórmula que relaciona o ângulo entre esses vetores para chegar ao ângulo entre os planos.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as equações dos planos na forma padrão, que é x = 1 + h - t y = h + 2t z = h . Isso vai nos ajudar a identificar os vetores normais de cada plano.
Para o plano x - h + t - 1 = 0 y - h - 2t = 0 z - h = 0 :
x = 2 + t y = -2h z = h + t
Podemos reescrever a primeira equação como e as demais já estão expressas em termos de e . Mas como estamos interessados na forma padrão, vamos reorganizar:
No entanto, para facilitar, podemos identificar os coeficientes de diretamente a partir das equações paramétricas.
Para o plano :
Fazendo algo parecido, vamos reorganizar para encontrar a forma padrão.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores normais de cada plano. A forma padrão das equações dos planos nos permite identificar facilmente os coeficientes nalpha = 1 -1 1 , que correspondem aos componentes do vetor normal.
Para o plano nbeta = 1 0 1 , observando as equações, podemos identificar que o vetor normal é:
Para o plano , fazendo a mesma identificação, o vetor normal é:

Passo 4

Agora que temos os vetores normais, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo cos(theta) = nalpha cdot nbeta|nalpha| cdot |nbeta| entre eles. A fórmula é baseada no produto escalar:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores normais.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores normais.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Produto escalar:
nalpha cdot nbeta = (1)(1) + (-1)(0) + (1)(1) = 1 + 0 + 1 = 2
  1. Normas dos vetores:
|nalpha| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
|nbeta| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
  1. Calculando o cosseno do ângulo:
cos(theta) = 2raiz3 cdot raiz2 = 2raiz6 = 2raiz66 = raiz63
  1. Encontrando o ângulo:
theta = arccos(raiz63) approx 35.26^circ

Resposta

O ângulo entre os planos e é de aproximadamente 35,26 graus.

Exercícios relacionados