Encontre a distância entre as retas r e s em cada item a seguir.
r:lx=2+h y=3+h ; z=1-2 h h in R e s:lx=t y=-1-3 t ; t in R z=2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para encontrar a distância entre duas retas no espaço tridimensional. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo da distância entre retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar das equações das duas retas e aplicar algumas fórmulas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas r e s.
A reta r é dada por:
x = 2 + h y = 3 + h z = 1 - 2h
onde h in R.
A reta s é dada por:
x = t y = -1 - 3t z = 2t
onde t in R.

Passo 3

Vamos extrair os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor é o vetor que indica a direção em que a reta segue.
Para a reta r, olhando os coeficientes de h, o vetor diretor u é:
u = 1 1 -2
Para a reta s, olhando os coeficientes de t, o vetor diretor v é:
v = 1 -3 2

Passo 4

Vamos escolher dois pontos, um em cada reta, para facilitar os cálculos.
Para a reta r, quando h = 0:
P = (2, 3, 1)
Para a reta s, quando t = 0:
Q = (0, -1, 0)

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor que liga os pontos P e Q. Esse vetor é dado por PQ = Q - P:
PQ = 0 - 2 -1 - 3 0 - 1 = -2 -4 -1

Passo 6

Para encontrar a distância entre as retas, usamos a fórmula da distância entre retas no espaço:
Distância = |PQ cdot (u times v)||u times v| â
Onde “ times” representa o produto vetorial e “ cdot” o produto escalar.

Passo 7

Vamos calcular o produto vetorial u times v:
u times v = i & j & k 1 & 1 & -2 1 & -3 & 2 = i(1 cdot 2 - (-2) cdot (-3)) - j(1 cdot 2 - (-2) cdot 1) + k(1 cdot (-3) - 1 cdot 1)
= i(2 - 6) - j(2 - (-2)) + k(-3 - 1) = -4 -4 -4

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto escalar PQ cdot (u times v):
PQ cdot (u times v) = (-2)(-4) + (-4)(-4) + (-1)(-4) = 8 + 16 + 4 = 28

Passo 9

Vamos calcular o módulo do vetor u times v:
|u times v| = raiz(-4)^2 + (-4)^2 + (-4)^2 = raiz16 + 16 + 16 = raiz48 = 4raiz3

Passo 10

Agora, aplicando na fórmula da distância:
Distância = |28|4raiz3 = 284raiz3 = 7raiz3 = 7raiz33 approx 4,04 â

Resposta

A distância entre as retas r e s é aproximadamente 4,04 unidades.

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