Um trecho de estrada de rodagem, contido em uma planície, passa sob três viadutos. Um levantamento topográfico mostrou que, com boa aproximação, a planície pode ser representada pelo plano pi: 5 x+4 y+20 z-20=0 e que cada viaduto tem seu ponto mais baixo em uma das retas r1:(x, y, z)=(5,6,3)+t(4,0,-1), r2:(x, y, z)=(3,3,4)+t(0,5,-1) e r3:(x, y, z)=(2,6,4)+t(4,5,-2) (a unidade de medida adotada é o metro). Admitindo que as medições de altura estão sujeitas a erros de até 3 %, determine a melhor alternativa para as placas sinalizadoras de altura máxima dos veículos que podem trafegar por esse trecho da estrada.
a) 3,9 m
b) 4,0 m
c) 4,1 m
d) 4,3 m

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um trecho de estrada que passa por três viadutos. A planície onde a estrada está é representada por um plano matemático, e cada viaduto tem sua parte mais baixa descrita por uma reta no espaço. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a altura entre essas retas (que representam os viadutos) e o plano da planície, considerando que nossas medições podem ter erros de até 3%. Isso vai nos ajudar a determinar a altura máxima permitida para os veículos que passam por essa estrada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano que representa a planície:
5x + 4y + 20z - 20 = 0
Essa equação nos diz como o plano está posicionado no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as retas que representam os viadutos. Cada reta está dada em forma paramétrica, que basicamente nos permite traçar a reta sabendo um ponto inicial e uma direção. As retas são:
Aqui, é um parâmetro que traz todos os pontos da reta.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a altura mínima entre cada viaduto e o plano da planície. Para isso, precisamos encontrar o valor de em que cada reta intersecta o plano. Isso vai nos dar a altura do ponto mais baixo do viaduto em relação à planície.

Passo 5

Vamos resolver isso para a primeira reta, 5(5 + 4t) + 4(6 + 0t) + 20(3 - t) - 20 = 0 :
Substituímos as expressões de 25 + 20t + 24 + 60 - 20t - 20 = 0 89 = 0 , e da reta na equação do plano:
Simplificando:
Isso não faz sentido, então percebemos que a reta não intersecta o plano. Isso significa que o viaduto nunca toca a planície, e precisamos encontrar a distância mínima entre a reta e o plano.

Passo 6

Para encontrar a distância entre uma reta e um plano, usamos a fórmula:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Onde é um ponto na reta e é a equação do plano.

Passo 7

Vamos aplicar isso para cada viaduto.
Para d1 = |5(5) + 4(6) + 20(3) - 20|raiz5^2 + 4^2 + 20^2 = |25 + 24 + 60 - 20|raiz25 + 16 + 400 = 89raiz441 = 8921 approx 4,24 , m , pegamos o ponto :

Passo 8

Para d2 = |5(3) + 4(3) + 20(4) - 20|raiz25 + 16 + 400 = |15 + 12 + 80 - 20|21 = 8721 approx 4,14 , m , o ponto :

Passo 9

Para d3 = |5(2) + 4(6) + 20(4) - 20|raiz25 + 16 + 400 = |10 + 24 + 80 - 20|21 = 9421 approx 4,48 , m , o ponto :

Passo 10

Agora, temos as alturas mínimas dos viadutos: aproximadamente 4,24 m, 4,14 m e 4,48 m. Considerando que as medições podem ter um erro de até 3%, precisamos ajustar essas alturas para garantir segurança. O menor valor ajustado vai determinar a altura máxima permitida.
Calculando 3% de 4,14 m:
4,14 times 0,03 approx 0,124 , m
Subtraindo esse erro:
4,14 - 0,124 approx 4,016 , m

Resposta

A melhor alternativa para as placas sinalizadoras de altura máxima é 4,0 m.

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