Um trecho de estrada de rodagem, contido em uma planície, passa sob três viadutos. Um levantamento topográfico mostrou que, com boa aproximação, a planície pode ser representada pelo plano
e que cada viaduto tem seu ponto mais baixo em uma das retas
e
(a unidade de medida adotada é o metro). Admitindo que as medições de altura estão sujeitas a erros de até
, determine a melhor alternativa para as placas sinalizadoras de altura máxima dos veículos que podem trafegar por esse trecho da estrada.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um trecho de estrada que passa por três viadutos. A planície onde a estrada está é representada por um plano matemático, e cada viaduto tem sua parte mais baixa descrita por uma reta no espaço. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a altura entre essas retas (que representam os viadutos) e o plano da planície, considerando que nossas medições podem ter erros de até 3%. Isso vai nos ajudar a determinar a altura máxima permitida para os veículos que passam por essa estrada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do plano que representa a planície:
Essa equação nos diz como o plano está posicionado no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as retas que representam os viadutos. Cada reta está dada em forma paramétrica, que basicamente nos permite traçar a reta sabendo um ponto inicial e uma direção. As retas são:
Aqui,
é um parâmetro que traz todos os pontos da reta.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar a altura mínima entre cada viaduto e o plano da planície. Para isso, precisamos encontrar o valor de
em que cada reta intersecta o plano. Isso vai nos dar a altura do ponto mais baixo do viaduto em relação à planície.
Passo 5
Vamos resolver isso para a primeira reta,
:
Substituímos as expressões de
,
e
da reta na equação do plano:
Simplificando:
Isso não faz sentido, então percebemos que a reta
não intersecta o plano. Isso significa que o viaduto nunca toca a planície, e precisamos encontrar a distância mínima entre a reta e o plano.
Passo 6
Para encontrar a distância entre uma reta e um plano, usamos a fórmula:
Onde
é um ponto na reta e
é a equação do plano.
Passo 7
Vamos aplicar isso para cada viaduto.
Para
, pegamos o ponto
:
Passo 8
Para
, o ponto
:
Passo 9
Para
, o ponto
:
Passo 10
Agora, temos as alturas mínimas dos viadutos: aproximadamente 4,24 m, 4,14 m e 4,48 m. Considerando que as medições podem ter um erro de até 3%, precisamos ajustar essas alturas para garantir segurança. O menor valor ajustado vai determinar a altura máxima permitida.
Calculando 3% de 4,14 m:
Subtraindo esse erro:
Resposta
A melhor alternativa para as placas sinalizadoras de altura máxima é 4,0 m.