prove que
define um produto interno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar que, no espaço dos polinômios de grau até 3 com coeficientes reais, denotado por
, a expressão
define um produto interno. Para isso, vamos usar os conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre produtos internos. Precisamos verificar algumas propriedades básicas para confirmar que isso é realmente um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um produto interno. É uma forma de multiplicar dois vetores (ou funções, no nosso caso) que satisfaz certas propriedades, como:
- Simetria:
- Linearidade: É linear em cada argumento.
- Positividade:
, e somente se .
Vamos verificar essas propriedades uma por uma para a nossa definição.
Passo 3
1. Simetria
Vamos ver se
.
Como a multiplicação �� comutativa (
), temos que
. Então, a simetria está ok!
Passo 4
2. Linearidade
Isso significa que o produto interno deve ser linear em relação a cada função. Vamos focar na primeira função.
Para quaisquer funções
e escalares
:
Então, a linearidade também está ok!
Passo 5
3. Positividade
Precisamos mostrar que
e que
implica que
.
Como
é sempre maior ou igual a zero para qualquer
, a integral também será maior ou igual a zero. Além disso, a integral será zero somente se
para todo
em [0,1], o que significa que
para todo
nessa intervalação. Portanto, a positividade está confirmada!
Resposta
Assim, verificamos que todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas. Portanto, a expressão
define, de fato, um produto interno em
.