Em P3(R) prove que
lang<= f(x), g(x)rang<==integral0^1 f(x) g(x) d x
define um produto interno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar que, no espaço dos polinômios de grau até 3 com coeficientes reais, denotado por P3(R), a expressão
lang<= f(x), g(x)rang<= = integral0^1 f(x) g(x) , dx
define um produto interno. Para isso, vamos usar os conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre produtos internos. Precisamos verificar algumas propriedades básicas para confirmar que isso é realmente um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um produto interno. É uma forma de multiplicar dois vetores (ou funções, no nosso caso) que satisfaz certas propriedades, como:
  1. Simetria: lang<= f, g rang<= = lang<= g, f rang<=
  2. Linearidade: É linear em cada argumento.
  3. Positividade: lang<= f, f rang<= >= 0, e lang<= f, f rang<= = 0 somente se f = 0.
Vamos verificar essas propriedades uma por uma para a nossa definição.

Passo 3

1. Simetria
Vamos ver se lang<= f, g rang<= = lang<= g, f rang<=.
lang<= f, g rang<= = integral0^1 f(x) g(x) , dx
lang<= g, f rang<= = integral0^1 g(x) f(x) , dx
Como a multiplicação �� comutativa ( f(x)g(x) = g(x)f(x)), temos que lang<= f, g rang<= = lang<= g, f rang<=. Então, a simetria está ok!

Passo 4

2. Linearidade
Isso significa que o produto interno deve ser linear em relação a cada função. Vamos focar na primeira função.
Para quaisquer funções f1, f2 in P3(R) e escalares a, b in R:
lang<= a f1 + b f2, g rang<= = integral0^1 (a f1(x) + b f2(x)) g(x) , dx = a integral0^1 f1(x) g(x) , dx + b integral0^1 f2(x) g(x) , dx = a lang<= f1, g rang<= + b lang<= f2, g rang<=
Então, a linearidade também está ok!

Passo 5

3. Positividade
Precisamos mostrar que lang<= f, f rang<= >= 0 e que lang<= f, f rang<= = 0 implica que f = 0.
lang<= f, f rang<= = integral0^1 f(x)^2 , dx
Como f(x)^2 é sempre maior ou igual a zero para qualquer x, a integral também será maior ou igual a zero. Além disso, a integral será zero somente se f(x)^2 = 0 para todo x em [0,1], o que significa que f(x) = 0 para todo x nessa intervalação. Portanto, a positividade está confirmada!

Resposta

Assim, verificamos que todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas. Portanto, a expressão
lang<= f(x), g(x)rang<= = integral0^1 f(x) g(x) , dx
define, de fato, um produto interno em P3(R).

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