Três barras feitas de diferentes materiais são conectadas e colocadas entre duas paredes rígidas quando a temperatura é T1=12^circ C. Determine a força exercida nos apoios quando a temperatura é T2= 18^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos três barras feitas de materiais diferentes, conectadas e fixadas entre duas paredes rígidas a uma temperatura inicial de T1 = 12^circ C. Queremos descobrir qual é a força que essas barras exercem nos apoios quando a temperatura sobe para T2 = 18^circ C. Vamos usar conceitos de expansão térmica e propriedades dos materiais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que acontece quando a temperatura muda. Materiais geralmente se expandem quando aquecidos. Cada material tem um coeficiente de dilatação térmica ( alpha) que indica quanto ele se expande por grau de temperatura.
A mudança de comprimento ( De) de cada barra pode ser calculada por:
De
onde:
  • L0 é o comprimento inicial da barra,
  • alpha é o coeficiente de dilatação térmica,
  • De é a variação de temperatura.

Passo 3

Como as barras estão conectadas entre duas paredes rígidas, elas não podem realmente se expandir. Isso cria uma força de compressão ou tensão nas barras. Essa força ( F) pode ser calculada usando a fórmula:
F = k cdot De
onde k é a constante elástica da barra, relacionada ao módulo de Young ( E) e à área da seção transversal ( A):
k = E cdot AL0

Passo 4

Para cada barra, vamos calcular a força exercida usando as fórmulas acima. Suponha que temos três barras com coeficientes de dilatação térmica alpha1, alpha2, alpha3, módulos de Young E1, E2, E3, áreas A1, A2, A3 e comprimento inicial L0 (assumindo que todas têm o mesmo comprimento para simplificar).
A variação de temperatura é:
De

Passo 5

Calculamos a mudança de comprimento para cada barra:
De
De
De

Passo 6

Calculamos a constante elástica para cada barra:
k1 = E1 cdot A1L0
k2 = E2 cdot A2L0
k3 = E3 cdot A3L0

Passo 7

Agora, calculamos a força em cada barra:
F1 = k1 cdot De
F2 = k2 cdot De
F3 = k3 cdot De

Passo 8

A força total exercida nos apoios é a soma das forças de cada barra:
Ftotal = F1 + F2 + F3 = 6 cdot (E1 cdot A1 cdot alpha1 + E2 cdot A2 cdot alpha2 + E3 cdot A3 cdot alpha3)

Resposta

A força exercida nos apoios quando a temperatura aumenta para 18^circ C é:
Ftotal = 6 cdot (E1 A1 alpha1 + E2 A2 alpha2 + E3 A3 alpha3)

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