Determine o ângulo entre os vetores (indique o resultado em grau e radiano com duas casas decimais) v = (4, 1, -3) e u = (6, 1, 5)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço: e . A gente precisa descobrir o ângulo entre esses dois vetores, tanto em graus quanto em radianos, com duas casas decimais. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre v e u. O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos das suas componentes correspondentes. A fórmula é:
Aplicando os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou magnitude) de v. A norma de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados das suas componentes:
Aplicando os valores:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para a norma de u:
Aplicando os valores:

Passo 5

Com o produto escalar e as normas dos vetores, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo theta entre os vetores:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 6

Agora, para encontrar o ângulo theta, vamos tirar o arco cosseno (ou cos⁻¹) do valor que achamos:
Para converter para radianos, lembrando que pi radianos equivalem a :

Resposta

O ângulo entre os vetores v e u é aproximadamente ou radianos.

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