Determine aproximações para integral duplaR(x-3 y^2) d A usando os mesmos sub-retângulos do Exemplo 3, mas determinando que o ponto amostral seja (a) o canto superior esquerdo, (b) o canto superior direito, © o canto inferior esquerdo, (d) o canto inferior direito de cada sub-retângulo.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular aproximações para a integral dupla dividindo a região em vários sub-retângulos. Em cada sub-retângulo, vamos escolher um ponto específico para avaliar a função . Os pontos escolhidos serão:
a) O canto superior esquerdo,
b) O canto superior direito,
c) O canto inferior esquerdo,
d) O canto inferior direito.
Para isso, vamos usar o conceito de somas de Riemann, que nos ajuda a aproximar integrais duplas dividindo a área em pequenas partes e somando os valores da função nesses pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, precisamos dividir a região De em sub-retângulos iguais. Suponha que De está definido por e . Vamos dividir em partes na direção e partes na direção . Assim, cada sub-retângulo terá:
A área de cada sub-retângulo será:

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos amostrais para cada caso:
a) Canto superior esquerdo: Para o sub-retângulo no índice , o canto superior esquerdo tem coordenadas , onde e .
b) Canto superior direito: As coordenadas são , onde e .
c) Canto inferior esquerdo: As coordenadas são , onde e .
d) Canto inferior direito: As coordenadas são , onde e .

Passo 4

Para cada sub-retângulo, calculamos o valor da função Aproximação = sumi=1^m sumj=1^n ( xi-1 - 3 yj^2 ) De no ponto amostral escolhido e multiplicamos pela área Aproximação = sumi=1^m sumj=1^n ( xi - 3 yj^2 ) De. A soma de todos esses valores nos dará a aproximação da integral dupla.
Matematicamente, para cada caso:
a) Canto superior esquerdo:
Aproximação = sumi=1^m sumj=1^n ( xi-1 - 3 yj-1^2 ) Deçã
b) Canto superior direito:
Aproximação = sumi=1^m sumj=1^n ( xi - 3 yj-1^2 ) Deçã
c) Canto inferior esquerdo:
çã
d) Canto inferior direito:
çã

Passo 5

Finalmente, somamos todas as contribuições de cada sub-retângulo para obter a aproximação final da integral dupla para cada caso específico.

Resposta

As aproximações para sumi=1^m sumj=1^n ( xi-1 - 3 yj^2 ) De são:
a) Canto superior esquerdo:
sumi=1^m sumj=1^n ( xi - 3 yj^2 ) De
b) Canto superior direito:
sumi=1^m sumj=1^n ( xi-1 - 3 yj-1^2 ) De
c) Canto inferior esquerdo:
sumi=1^m sumj=1^n ( xi - 3 yj-1^2 ) De
d) Canto inferior direito:
Essas expressões fornecem as aproximações desejadas para a integral dupla, dependendo de qual ponto amostral foi utilizado em cada sub-retângulo.

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