Determine aproximações para
usando os mesmos sub-retângulos do Exemplo 3, mas determinando que o ponto amostral seja (a) o canto superior esquerdo, (b) o canto superior direito, © o canto inferior esquerdo, (d) o canto inferior direito de cada sub-retângulo.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular aproximações para a integral dupla
dividindo a região
em vários sub-retângulos. Em cada sub-retângulo, vamos escolher um ponto específico para avaliar a função
. Os pontos escolhidos serão:
a) O canto superior esquerdo,
b) O canto superior direito,
c) O canto inferior esquerdo,
d) O canto inferior direito.
Para isso, vamos usar o conceito de somas de Riemann, que nos ajuda a aproximar integrais duplas dividindo a área em pequenas partes e somando os valores da função nesses pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, precisamos dividir a região
em sub-retângulos iguais. Suponha que
está definido por
e
. Vamos dividir
em
partes na direção
e
partes na direção
. Assim, cada sub-retângulo terá:
A área de cada sub-retângulo será:
Passo 3
Agora, vamos determinar os pontos amostrais para cada caso:
a) Canto superior esquerdo: Para o sub-retângulo no índice
, o canto superior esquerdo tem coordenadas
, onde
e
.
b) Canto superior direito: As coordenadas são
, onde
e
.
c) Canto inferior esquerdo: As coordenadas são
, onde
e
.
d) Canto inferior direito: As coordenadas são
, onde
e
.
Passo 4
Para cada sub-retângulo, calculamos o valor da função
no ponto amostral escolhido e multiplicamos pela área
. A soma de todos esses valores nos dará a aproximação da integral dupla.
Matematicamente, para cada caso:
a) Canto superior esquerdo:
b) Canto superior direito:
c) Canto inferior esquerdo:
d) Canto inferior direito:
Passo 5
Finalmente, somamos todas as contribuições de cada sub-retângulo para obter a aproximação final da integral dupla para cada caso específico.
Resposta
As aproximações para
são:
a) Canto superior esquerdo:
b) Canto superior direito:
c) Canto inferior esquerdo:
d) Canto inferior direito:
Essas expressões fornecem as aproximações desejadas para a integral dupla, dependendo de qual ponto amostral foi utilizado em cada sub-retângulo.