Nos exercícios , encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado. ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano tangente à superfície definida por no ponto dado . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente tratando de planos tangentes a superfícies. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto está realmente na superfície. Substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto está na superfície.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos darão a inclinação da superfície nas direções e .
Calculemos e :
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
Com as derivadas parciais, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Onde é o ponto dado e , são as derivadas parciais avaliadas nesse ponto.
Passo 6
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: