Nos exercícios 9 - 12, encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
z = ln(x^2 + y^2),
(1, 0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano tangente à superfície definida por no ponto dado . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente tratando de planos tangentes a superfícies. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto está realmente na superfície. Substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto está na superfície.

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos darão a inclinação da superfície nas direções e .
Calculemos e :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Onde é o ponto dado e , são as derivadas parciais avaliadas nesse ponto.

Passo 6

Substituindo os valores que temos:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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