Prove o teste da divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar o teste da divergência, que na verdade é conhecido como o Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss. Esse teorema é um dos pilares no cálculo vetorial e relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Para provar isso, vamos precisar entender conceitos como fluxo, divergência e integração em superfície e volume.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é divergência. A divergência de um campo vetorial é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Ela é dada por:
Esse operador nos ajuda a relacionar o comportamento local do campo com o fluxo total através de uma superfície.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é uma medida de quanto do campo passa através de . Matematicamente, é dado por:
onde é um vetor de área infinitesimal na superfície.

Passo 4

O Teorema da Divergência afirma que o fluxo de através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por :
Para provar isso, vamos usar o Teorema de Green em três dimensões, estendendo-o para volumes.

Passo 5

Vamos considerar um pequeno volume dentro de . Aplicando o Teorema de Gauss sobre esse volume, temos que o fluxo através das faces desse volume é igual à divergência de dentro dele. Ao somar isso para todos os pequenos volumes que preenchem , as contribuições das faces internas se cancelam, restando apenas o fluxo através da superfície externa .

Passo 6

Matematicamente, ao dividir em pequenas partes, cada uma com sua superfície fechada, e integrar, obtemos:
Como as contribuições internas se anulam, isso nos leva diretamente ao Teorema da Divergência para o volume inteiro .

Passo 7

Portanto, provamos que:
Isso conclui a demonstração do Teorema da Divergência.

Resposta

Prova concluída! Mostramos que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por , conforme o Teorema da Divergência:

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