Prove o teste da divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar o teste da divergência, que na verdade é conhecido como o Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss. Esse teorema é um dos pilares no cálculo vetorial e relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Para provar isso, vamos precisar entender conceitos como fluxo, divergência e integração em superfície e volume.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é divergência. A divergência de um campo vetorial
é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Ela é dada por:
Esse operador nos ajuda a relacionar o comportamento local do campo com o fluxo total através de uma superfície.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é uma medida de quanto do campo passa através de
. Matematicamente, é dado por:
onde
é um vetor de área infinitesimal na superfície.
Passo 4
O Teorema da Divergência afirma que o fluxo de
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Para provar isso, vamos usar o Teorema de Green em três dimensões, estendendo-o para volumes.
Passo 5
Vamos considerar um pequeno volume
dentro de
. Aplicando o Teorema de Gauss sobre esse volume, temos que o fluxo através das faces desse volume é igual à divergência de
dentro dele. Ao somar isso para todos os pequenos volumes que preenchem
, as contribuições das faces internas se cancelam, restando apenas o fluxo através da superfície externa
.
Passo 6
Matematicamente, ao dividir
em pequenas partes, cada uma com sua superfície fechada, e integrar, obtemos:
Como as contribuições internas se anulam, isso nos leva diretamente ao Teorema da Divergência para o volume inteiro
.
Passo 7
Portanto, provamos que:
Isso conclui a demonstração do Teorema da Divergência.
Resposta
Prova concluída! Mostramos que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
, conforme o Teorema da Divergência: