Se , use uma soma de Riemann com para estimar o valor de . Tome os pontos amostrais como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região no plano . O objetivo é estimar o valor da integral dupla usando uma soma de Riemann com . Isso significa que vamos dividir a região em 4 subintervalos ao longo do eixo e 4 subintervalos ao longo do eixo , formando 16 pequenos retângulos. Vamos usar os cantos inferiores esquerdos desses retângulos como pontos amostrais para calcular a soma.

Passo 2

Para começar, precisamos determinar a largura ( ) e a altura ( ) de cada subintervalo. A largura é baseada no intervalo de e a altura no intervalo de .
Então, cada sub-retângulo tem largura 1 e altura 0.5.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos amostrais, que são os cantos inferiores esquerdos de cada sub-retângulo. Para , os valores serão para . Para , os valores serão para .
Os pontos amostrais serão:

Passo 4

Vamos calcular a função em cada ponto amostral. Isso significa substituir cada e na função para encontrar o valor em cada sub-retângulo.

Passo 5

A soma de Riemann será a soma de todos esses valores de multiplicados pela área de cada sub-retângulo ( ).

Passo 6

Vamos calcular passo a passo cada termo da soma:
  1. Para ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
  2. Para ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
  3. Para ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
  4. Para ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):

Passo 7

Agora, somamos todos esses valores e multiplicamos pela área de cada sub-retângulo ( ):
Calculando a soma dentro dos colchetes:
Então:

Resposta

A estimativa do valor da integral dupla é .

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