Se R=[-2,2] times[-1,1], use uma soma de Riemann com m=n=4 para estimar o valor de integral duplaR(2 x+x^2 y) d A. Tome os pontos amostrais como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região no plano . O objetivo é estimar o valor da integral dupla usando uma soma de Riemann com . Isso significa que vamos dividir a região em 4 subintervalos ao longo do eixo e 4 subintervalos ao longo do eixo , formando 16 pequenos retângulos. Vamos usar os cantos inferiores esquerdos desses retângulos como pontos amostrais para calcular a soma.

Passo 2

Para começar, precisamos determinar a largura ( De) e a altura ( De) de cada subintervalo. A largura é baseada no intervalo de e a altura no intervalo de .
Então, cada sub-retângulo tem largura 1 e altura 0.5.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos amostrais, que são os cantos inferiores esquerdos de cada sub-retângulo. Para (xi, yj) onde i = 0,1,2,3 e j = 0,1,2,3 , os valores serão para . Para , os valores serão para .
Os pontos amostrais serão:

Passo 4

Vamos calcular a função em cada ponto amostral. Isso significa substituir cada e na função para encontrar o valor em cada sub-retângulo.

Passo 5

A soma de Riemann será a soma de todos esses valores de Soma de Riemann = sumi=0^3 sumj=0^3 f(xi, yj) cdot De multiplicados pela área de cada sub-retângulo ( ).

Passo 6

Vamos calcular passo a passo cada termo da soma:
  1. Para ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
  2. Para ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
  3. Para ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
  4. Para ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):
    • ( ):

Passo 7

Agora, somamos todos esses valores e multiplicamos pela área de cada sub-retângulo ( Soma de Riemann = [(-8) + (-6) + (-4) + (-2) + (-3) + (-2.5) + (-2) + (-1.5) + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1.5 + 2 + 2.5] times 0.5 ):
-8 -6 -4 -2 -3 -2.5 -2 -1.5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1.5 + 2 + 2.5 = -21
Calculando a soma dentro dos colchetes:
Soma de Riemann = -21 times 0.5 = -10.5
Então:

Resposta

A estimativa do valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados