Se
, use uma soma de Riemann com
para estimar o valor de
. Tome os pontos amostrais como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região
no plano
. O objetivo é estimar o valor da integral dupla
usando uma soma de Riemann com
. Isso significa que vamos dividir a região
em 4 subintervalos ao longo do eixo
e 4 subintervalos ao longo do eixo
, formando 16 pequenos retângulos. Vamos usar os cantos inferiores esquerdos desses retângulos como pontos amostrais para calcular a soma.
Passo 2
Para começar, precisamos determinar a largura (
) e a altura (
) de cada subintervalo. A largura é baseada no intervalo de
e a altura no intervalo de
.
Então, cada sub-retângulo tem largura 1 e altura 0.5.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos amostrais, que são os cantos inferiores esquerdos de cada sub-retângulo. Para
, os valores serão
para
. Para
, os valores serão
para
.
Os pontos amostrais serão:
Passo 4
Vamos calcular a função
em cada ponto amostral. Isso significa substituir cada
e
na função para encontrar o valor em cada sub-retângulo.
Passo 5
A soma de Riemann será a soma de todos esses valores de
multiplicados pela área de cada sub-retângulo (
).
Passo 6
Vamos calcular passo a passo cada termo da soma:
-
Para
( ): -
( ): -
( ): -
( ): -
( ):
-
-
Para
( ): -
( ): -
( ): -
( ): -
( ):
-
-
Para
( ): -
( ): -
( ): -
( ): -
( ):
-
-
Para
( ): -
( ): -
( ): -
( ): -
( ):
-
Passo 7
Agora, somamos todos esses valores e multiplicamos pela área de cada sub-retângulo (
):
Calculando a soma dentro dos colchetes:
Então:
Resposta
A estimativa do valor da integral dupla é
.
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Determine aproximações para
usando os mesmos sub-retângulos do Exemplo 3, mas determinando que o ponto amostral seja (a) o canto superior esquerdo, (b) o canto superior direito, © o canto inferior esquerdo, (d) o canto inferior direito de cada sub-retângulo.
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e pelo plano
.
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, em torno do eixo
.