Determine o volume do sólido entre os paraboloides z = x^2 + y^2 e z = 8 - x^2 - y^2 e dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume do sólido que fica entre os dois paraboloides e , e que está dentro do cilindro . Isso está ligado à matéria de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas e coordenadas polares. Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para polares para facilitar os cálculos, já que a região está dentro de um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde os paraboloides se interceptam. Igualando as duas equações:
Resolvendo isso:
Isso significa que os paraboloides se cruzam no círculo de raio 2. Mas como estamos interessados apenas no interior do cilindro , vamos focar nessa região.

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares, onde e . Nessa configuração, o cilindro se transforma em , o que simplifica nossos limites de integração. O volume será integrado sobre de 0 a 1 e de 0 a .

Passo 4

A diferença das alturas dos paraboloides nos dá a função a ser integrada para encontrar o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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