Determine o volume do sólido entre os paraboloides
e
e dentro do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume do sólido que fica entre os dois paraboloides
e
, e que está dentro do cilindro
. Isso está ligado à matéria de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas e coordenadas polares. Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para polares para facilitar os cálculos, já que a região está dentro de um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde os paraboloides se interceptam. Igualando as duas equações:
Resolvendo isso:
Isso significa que os paraboloides se cruzam no círculo de raio 2. Mas como estamos interessados apenas no interior do cilindro
, vamos focar nessa região.
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Nessa configuração, o cilindro
se transforma em
, o que simplifica nossos limites de integração. O volume será integrado sobre
de 0 a 1 e
de 0 a
.
Passo 4
A diferença das alturas dos paraboloides nos dá a função a ser integrada para encontrar o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.