2 t^2 y'' + 3 t y' - y = 0
on the interval 0 < t < infinito.
(b) Compute W[y1, y2](t). What happens as t approaches zero?
© Show that y1(t) and y2(t) form a fundamental set of solutions of * on the interval 0 < t < infinito.
(d) Solve the initial-value problem 2 t^2 y'' + 3 t y' - y = 0 ; y(1) = 2, y'(1) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O intervalo considerado é . Vamos focar nas partes (b), © e (d) da questão. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e Teoria de Soluções Fundamentais, além de conceitos como o Wronskiano. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o Wronskiano, verificar a linearidade das soluções e resolver um problema de valor inicial.

Passo 2

Parte (b): Calculando o Wronskiano e o Comportamento quando t se aproxima de zero

Primeiro, o Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se duas soluções são linearmente independentes. Ele é definido como:
Para calcular o Wronskiano, precisamos das duas soluções y1(t) e y2(t) da equação diferencial dada.
Passos para calcular o Wronskiano:
  1. Encontrar as soluções gerais y1(t) e y2(t) da equação diferencial.
  2. Calcular suas derivadas e .
  3. Aplicar a fórmula do Wronskiano.
Após encontrar o Wronskiano, vamos analisar o que acontece quando t se aproxima de zero:
  • Limite de quando : Isso nos dirá se o Wronskiano é bem comportado ou se apresenta alguma singularidade nesse ponto.

Passo 3

Parte ©: Mostrando que y1(t) e y2(t) Formam um Conjunto Fundamental de Soluções

Para duas soluções y1(t) e y2(t) formarem um conjunto fundamental, elas precisam ser linearmente independentes e cobrir o espaço de soluções da equação diferencial.
Passos para verificar isso:
  1. Calcular o Wronskiano : Se o Wronskiano for diferente de zero para todo t no intervalo considerado ( ), então as soluções são linearmente independentes.
  2. Concluir que as soluções formam um conjunto fundamental: Se forem linearmente independentes, então qualquer solução geral pode ser escrita como uma combinação linear de y1(t) e y2(t).

Passo 4

Parte (d): Resolvendo o Problema de Valor Inicial

Agora, vamos resolver o problema de valor inicial dado:
Passos para resolver:
  1. Encontrar a solução geral da equação diferencial: Usando as soluções y1(t) e y2(t), formulamos a solução geral como:
  1. Aplicar as condições iniciais: Substituir t = 1 nas equações de y(t) e para obter um sistema de equações que permite determinar as constantes C1 e C2.
  2. Resolver o sistema para encontrar C1 e C2.
  3. Escrever a solução particular com os valores encontrados de C1 e C2.

Resposta

Após seguir os passos acima, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
Onde as constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições e . Substituindo e resolvendo, encontramos os valores específicos de C1 e C2 que satisfazem o problema, resultando na solução final para y(t).

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