Para duas soluções y1(t) e y2(t) formarem um conjunto fundamental, elas precisam ser linearmente independentes e cobrir o espaço de soluções da equação diferencial.
Passos para verificar isso:
Calcular o Wronskiano : Se o Wronskiano for diferente de zero para todo t no intervalo considerado (), então as soluções são linearmente independentes.
Concluir que as soluções formam um conjunto fundamental: Se forem linearmente independentes, então qualquer solução geral pode ser escrita como uma combinação linear de y1(t) e y2(t).
Passo 4
Parte (d): Resolvendo o Problema de Valor Inicial
Agora, vamos resolver o problema de valor inicial dado:
Passos para resolver:
Encontrar a solução geral da equação diferencial: Usando as soluções y1(t) e y2(t), formulamos a solução geral como:
Aplicar as condições iniciais: Substituir t = 1 nas equações de y(t) e para obter um sistema de equações que permite determinar as constantes C1 e C2.
Resolver o sistema para encontrar C1 e C2.
Escrever a solução particular com os valores encontrados de C1 e C2.
Resposta
Após seguir os passos acima, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
Onde as constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições e . Substituindo e resolvendo, encontramos os valores específicos de C1 e C2 que satisfazem o problema, resultando na solução final para y(t).