Determine a área da região delimitada pela curva:
(d)
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos determinar a área da região delimitada pela curva
. Isso envolve geometria analítica em coordenadas polares. Para resolver, vamos usar a fórmula para calcular áreas em coordenadas polares.
Passo 2
A fórmula para calcular a área
de uma região limitada por uma curva em coordenadas polares
é:
Aqui,
e
são os limites de integração que correspondem a um ciclo completo da curva.
Passo 3
No nosso caso,
. Precisamos determinar os limites de integração
e
para um ciclo completo dessa função.
Passo 4
A função
tem um período de
porque o período geral da função
é
. Portanto, um ciclo completo ocorre quando
varia de
a
.
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula da área:
Passo 6
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área da região delimitada pela curva
é
unidades de área.