Determine a área da região delimitada pela curva:
(d) r = 2 sen(3 theta)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos determinar a área da região delimitada pela curva . Isso envolve geometria analítica em coordenadas polares. Para resolver, vamos usar a fórmula para calcular áreas em coordenadas polares.

Passo 2

A fórmula para calcular a área de uma região limitada por uma curva em coordenadas polares é:
Aqui, e são os limites de integração que correspondem a um ciclo completo da curva.

Passo 3

No nosso caso, . Precisamos determinar os limites de integração e para um ciclo completo dessa função.

Passo 4

A função tem um período de porque o período geral da função é . Portanto, um ciclo completo ocorre quando varia de a .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da área:

Passo 6

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A área da região delimitada pela curva é unidades de área.

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