Determine a área da região delimitada pela curva:
(a)
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a área da região delimitada pela curva . A gente vai usar o cálculo de áreas em coordenadas polares para resolver isso. Para isso, vamos precisar da fórmula que calcula a área em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma curva em coordenadas polares:
Aqui, é a função que define a curva, e e são os limites de integração, ou seja, os valores de que definem o intervalo completo da curva.
Passo 3
No nosso caso, a curva é . Vamos primeiro determinar os limites de onde a curva se completa. Como varia de 1 a -1, e multiplicando por 4, varia de 4 a -4.
Observando o gráfico de , vemos que é um círculo com raio 2 e centro no ponto em coordenadas cartesianas. Para cobrir todo o círculo uma vez, varia de a .
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da área:
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Substituindo de volta na fórmula da área:
Agora, precisamos calcular a integral de .
Passo 6
Para integrar , usamos uma identidade trigonométrica que facilita a integração:
Então, substituindo na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples:
A segunda integral é:
Passo 8
Então, a área fica:
Resposta
A área da regi��o delimitada pela curva é unidades de área.