Determine a área da região que está dentro de ambas as curvas.
© e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir a área da região que está dentro das duas curvas dadas: e . Vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e cálculo integral para resolver isso. Primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se cruzam para saber os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Sabemos que quando , onde é um inteiro. Então:
Isso significa que as curvas se cruzam em e no intervalo de a .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos determinar qual curva está por cima em cada intervalo. Observando as funções:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
A área que está dentro de ambas as curvas é a área onde a menor das duas funções está presente. Então, vamos calcular a integral da menor função em cada intervalo.

Passo 4

A área total será a soma das áreas nos intervalos e , já que nesses intervalos é menor ou igual a . A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Calculamos cada parte separadamente:
  1. De a :
  1. De a :
Agora, vamos calcular e :
Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando:
Fazendo a mesma coisa para :
Somando e :

Resposta

A área da região que está dentro de ambas as curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine a área da região delimitada pela curva:
(d)
Determine a área da região delimitada pela curva:
(a)
Determine o comprimento da curva polar em :
(a)
(b)
©
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
h) e .