Determine a área da região que está dentro de ambas as curvas.
©
e
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir a área da região que está dentro das duas curvas dadas: e
. Vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e cálculo integral para resolver isso. Primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se cruzam para saber os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro. Então:
Isso significa que as curvas se cruzam em
e
no intervalo de
a
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos determinar qual curva está por cima em cada intervalo. Observando as funções:
- Para
, - Para
, - Para
,
A área que está dentro de ambas as curvas é a área onde a menor das duas funções está presente. Então, vamos calcular a integral da menor função em cada intervalo.
Passo 4
A área total
será a soma das áreas nos intervalos
e
, já que nesses intervalos
é menor ou igual a . A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Calculamos cada parte separadamente:
- De
a :
- De
a :
Agora, vamos calcular
e
:
Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando:
Fazendo a mesma coisa para
:
Somando
e
:
Resposta
A área da região que está dentro de ambas as curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine a área da região delimitada pela curva:
(d)
(d)
Determine a área da região delimitada pela curva:
(a)
(a)
Determine o comprimento da curva polar em
:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os para
tais que
h) e
.
h)