Determine a área da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas das funções
e
. Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de integrais para calcular áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar achar os pontos onde essas duas funções se cruzam e, depois, integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas funções se interceptam, ou seja, onde
. Isso significa resolver a equação:
Vamos simplificar essa equação subtraindo
de ambos os lados:
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Fatorando, temos:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo de
a
. Isso é importante porque a área entre as curvas é calculada integrando a diferença da função de cima menos a função de baixo.
Vamos calcular
e
em um ponto dentro do intervalo, digamos
:
Como
, a função
está acima da
nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, podemos configurar a integral para achar a área
entre as curvas de
a
:
Substituindo as funções:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(45)
(45)
Determine a área da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Determine a área da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e