Determine a área da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Então, temos que encontrar a área da região que está entre as curvas das funções
e
. Vamos usar Cálculo Integral, especificamente a integração definida, para resolver isso. Precisaremos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram e depois calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as funções se cruzam, ou seja, onde
.
Vamos simplificar essa equação:
Fatorando:
Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos saber qual função está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção.
Vamos escolher pontos de teste em cada intervalo:
-
Intervalo
: - Escolha
: Aqui, .
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: Aqui, .
- Escolha
Portanto:
- De
a , está acima de . - De
a , está acima de .
Passo 4
Vamos agora configurar as integrais para calcular a área em cada intervalo.
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente.
-
Calculando
: Avaliando dea : Então,. -
Calculando
: Avaliando dea : Então,.
Resposta
A área total da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
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