Determine a área da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Então, temos que encontrar a área da região que está entre as curvas das funções e . Vamos usar Cálculo Integral, especificamente a integração definida, para resolver isso. Precisaremos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram e depois calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as funções se cruzam, ou seja, onde .
Vamos simplificar essa equação:
Fatorando:
Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 3

Agora, precisamos saber qual função está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção.
Vamos escolher pontos de teste em cada intervalo:
  1. Intervalo :
    • Escolha : Aqui, .
  2. Intervalo :
    • Escolha : Aqui, .
Portanto:
  • De a , está acima de .
  • De a , está acima de .

Passo 4

Vamos agora configurar as integrais para calcular a área em cada intervalo.
  1. Para :
    Á
  2. Para :
    Á

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Calculando Á:
    Avaliando de a :
    Então, Á.
  2. Calculando Á:
    Avaliando de a :
    Então, Á.

Resposta

A área total da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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