Determine a área da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área da região delimitada pelas curvas
e
. Aqui, vamos usar conceitos de integração para calcular a área entre duas curvas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, porque esses pontos vão definir os limites de onde vamos calcular a área.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção entre
e
, igualamos as duas funções:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 3
Subtraímos
de ambos os lados para simplificar:
Agora temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 4
Aplicando a fórmula quadrática
, onde
,
e
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção, precisamos identificar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo para poder calcular a área corretamente. Vamos analisar um valor de
entre os dois pontos, por exemplo,
:
Como
é maior que
, sabemos que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
Com isso, a área entre as curvas é dada pela integral da diferença
de
a
:
Passo 7
Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Isso pode ser simplificado, mas para facilitar, calculamos numericamente:
Passo 8
Calculando os valores:
Primeiro, encontramos
e
.
Calculamos cada termo:
Após os cálculos, obtemos a área aproximada.
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é aproximadamente 2,828 unidades de área.
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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e