Determine a área da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área da região delimitada pelas curvas e . Aqui, vamos usar conceitos de integração para calcular a área entre duas curvas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, porque esses pontos vão definir os limites de onde vamos calcular a área.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção entre e , igualamos as duas funções:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 3

Subtraímos de ambos os lados para simplificar:
Agora temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 4

Aplicando a fórmula quadrática , onde , e :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção, precisamos identificar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo para poder calcular a área corretamente. Vamos analisar um valor de entre os dois pontos, por exemplo, :
Como é maior que , sabemos que está acima de nesse intervalo.

Passo 6

Com isso, a área entre as curvas é dada pela integral da diferença de a :
Á

Passo 7

Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Á
Isso pode ser simplificado, mas para facilitar, calculamos numericamente:

Passo 8

Calculando os valores:
Primeiro, encontramos e .
Calculamos cada termo:
Á
Após os cálculos, obtemos a área aproximada.

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é aproximadamente 2,828 unidades de área.

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