Determine a área da região limitada pelos gráficos de f(x) = x e g(x) = x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre os gráficos das funções e . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando integrais para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas funções se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso nos ajuda a saber os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos x = x^2 e :

Passo 4

Agora, trazemos tudo para um lado da equação:
x^2 - x = 0

Passo 5

Fatorando a equação:
x(x - 1) = 0

Passo 6

Assim, as soluções são:
x = 0 ou x = 1
Então, as curvas se cruzam em e .

Passo 7

Agora, precisamos determinar qual função está por cima da outra no intervalo entre 0 e 1. Vamos testar um valor, por exemplo, f(0.5) = 0.5 g(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 :
Como , está acima de nesse intervalo.

Passo 8

A área entre as curvas é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a de baixo, ou seja:
Área = integral0^1 [f(x) - g(x)] , dx = integral0^1 (x - x^2) , dx Á

Passo 9

Vamos calcular a integral:
integral (x - x^2) , dx = 12x^2 - 13x^3 + C

Passo 10

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1:
[ 12(1)^2 - 13(1)^3 ] - [ 12(0)^2 - 13(0)^3 ] = ( 12 - 13 ) - 0 = 12 - 13

Passo 11

Calculando a diferença:
12 - 13 = 36 - 26 = 16

Resposta

A área da região limitada pelos gráficos de e é unidades quadradas.

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