Determine a área da região limitada pelos gráficos de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre os gráficos das funções e . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando integrais para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas funções se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso nos ajuda a saber os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos e :

Passo 4

Agora, trazemos tudo para um lado da equação:

Passo 5

Fatorando a equação:

Passo 6

Assim, as soluções são:
Então, as curvas se cruzam em e .

Passo 7

Agora, precisamos determinar qual função está por cima da outra no intervalo entre 0 e 1. Vamos testar um valor, por exemplo, :
Como , está acima de nesse intervalo.

Passo 8

A área entre as curvas é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a de baixo, ou seja:
Á

Passo 9

Vamos calcular a integral:

Passo 10

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1:

Passo 11

Calculando a diferença:

Resposta

A área da região limitada pelos gráficos de e é unidades quadradas.

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