Determine a área da região limitada pela parábola: e a reta: .

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos encontrar a área da região limitada pela parábola e pela reta . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a determinar a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola e a reta se intersectam. Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os valores de são e .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de a . Observamos que:
  • Para a parábola:
  • Para a reta:
Comparando os valores, percebemos que, nesse intervalo, a reta está acima da parábola.

Passo 4

A área entre as duas curvas pode ser calculada pela integral da diferença das funções, de a :
Á

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de a :
Para :
Para :
A diferença entre os valores é:
Ou seja, a área é unidades de área.

Resposta

A área da região limitada é igual a unidades de área.

Exercícios relacionados

Simplifique as expressões a seguir:
c)
Escreva:
c) como uma potência de 5 .
Calcule os números a seguir, sem uso de calculadora:
b)
Calcule o ângulo entre os dois vetores onde e são vetores unitários ortogonais.