Determine a área da região limitada pela parábola:
e a reta:
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos encontrar a área da região limitada pela parábola
e pela reta
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a determinar a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola e a reta se intersectam. Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Substituindo
na segunda equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os valores de
são
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de
a
. Observamos que:
- Para a parábola:
- Para a reta:
Comparando os valores, percebemos que, nesse intervalo, a reta está acima da parábola.
Passo 4
A área entre as duas curvas pode ser calculada pela integral da diferença das funções, de
a
:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de
a
:
Para
:
Para
:
A diferença entre os valores é:
Ou seja, a área é
unidades de área.
Resposta
A área da região limitada é igual a
unidades de área.
Exercícios relacionados
Simplifique as expressões a seguir:
c)
c)
Escreva:
c) como uma potência de 5 .
c)
Calcule os números a seguir, sem uso de calculadora:
b)
b)
Calcule o ângulo entre os dois vetores
onde
e
são vetores unitários ortogonais.