Seja a superfície parametrizada por , com e . Desenhe e Calcule a área de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar a superfície parametrizada por , onde , e . Nosso objetivo é desenhar essa superfície e calcular a área dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo de integrais duplas para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização . Isso significa que cada ponto na superfície é definido por dois parâmetros e . As condições , e restringem os valores de e dentro de um triângulo no plano .
Passo 3
Para desenhar a superfície, podemos observar que a terceira coordenada depende apenas de . Isso indica que, conforme aumenta, diminui, criando uma parábola invertida em relação ao eixo . Como varia de 0 a , a superfície se estende no sentido positivo de , formando uma espécie de “vaga-lume” parabólico.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área da superfície . A fórmula para a área de uma superfície parametrizada por é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e representa o produto vetorial.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 6
Agora, calculamos o produto vetorial :
Então,
Passo 7
A norma desse vetor é:
Passo 8
Agora, definimos a região de integração no plano , que é o triângulo com , e . Podemos expressar em termos de :
Passo 9
Então, a integral para a área fica:
Como a função integranda não depende de , podemos integrar primeiro em relação a :
Passo 10
Agora, precisamos resolver a integral:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Seja , então , mas ainda assim, a integral pode ser complexa. Alternativamente, podemos expandir ou usar métodos numéricos para aproximar a integral.
Passo 11
Após realizar os cálculos (que podem envolver técnicas avançadas de integração ou ferramentas computacionais), encontramos o valor aproximado da área:
Resposta
A área da superfície é aproximadamente unidades quadradas.