Seja S a superfície parametrizada por Γ(u, v) = (u, v, 1 - v^2), com u >= 0, v >= 0 e u + v <= 1. Desenhe S e Calcule a área de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar a superfície parametrizada por , onde , e . Nosso objetivo é desenhar essa superfície e calcular a área dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo de integrais duplas para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização . Isso significa que cada ponto na superfície é definido por dois parâmetros e . As condições , e restringem os valores de e dentro de um triângulo no plano .

Passo 3

Para desenhar a superfície, podemos observar que a terceira coordenada depende apenas de . Isso indica que, conforme aumenta, diminui, criando uma parábola invertida em relação ao eixo . Como varia de 0 a , a superfície se estende no sentido positivo de , formando uma espécie de “vaga-lume” parabólico.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da superfície . A fórmula para a área de uma superfície parametrizada por é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e representa o produto vetorial.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 6

Agora, calculamos o produto vetorial :
Então,

Passo 7

A norma desse vetor é:

Passo 8

Agora, definimos a região de integração no plano , que é o triângulo com , e . Podemos expressar em termos de :

Passo 9

Então, a integral para a área fica:
Como a função integranda não depende de , podemos integrar primeiro em relação a :

Passo 10

Agora, precisamos resolver a integral:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Seja , então , mas ainda assim, a integral pode ser complexa. Alternativamente, podemos expandir ou usar métodos numéricos para aproximar a integral.

Passo 11

Após realizar os cálculos (que podem envolver técnicas avançadas de integração ou ferramentas computacionais), encontramos o valor aproximado da área:

Resposta

A área da superfície é aproximadamente unidades quadradas.

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