Faça três iterações
do método de Newton para encontrar uma aproximação de uma solução de cada um dos sistemas não lineares abaixo e localize graficamente as raízes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aplicar o método de Newton para sistemas não lineares, usando três iterações. O sistema que temos é:
Vamos começar com a estimativa inicial
. Para resolver isso, vamos precisar da matriz jacobiana do sistema e saber como aplicar o método de Newton passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz jacobiana
do sistema. A jacobiana é uma matriz formada pelas derivadas parciais das funções em relação às variáveis. Para o nosso sistema:
Calculando as derivadas:
Então, a jacobiana fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira iteração do método de Newton. A fórmula é:
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Agora, vamos resolver o sistema
para encontrar
:
Resolvendo esse sistema, encontramos
. Então,
Passo 4
Vamos para a segunda iteração, usando
.
Calculamos
:
A jacobiana
:
Resolvendo
:
Após resolver o sistema, encontramos
. Então,
Passo 5
Vamos para a terceira iteração com
.
Calculamos
:
A jacobiana
:
Resolvendo
:
Após resolver esse sistema, obtemos
. Então,
Os cálculos são um pouco extensos, então vamos considerar aproximados os valores finais.
Resposta
Após três iterações do método de Newton, a aproximação da solução para o sistema é aproximadamente: