Determine as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das seguintes funções racionais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função racional . Isso envolve conceitos de limites e comportamento de funções racionais. Para resolver isso, precisamos entender como identificar onde a função se aproxima de linhas específicas quando vai para infinito ou quando o denominador se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde o denominador da função é igual a zero, porque aí a função tende ao infinito (positivamente ou negativamente). Então, vamos igualar o denominador a zero:
Resolvendo isso:
Então, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos determinar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais mostram o valor que a função se aproxima quando vai para positivo ou negativo infinito. Para funções racionais, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador.
  • Se o grau do numerador for maior que o do denominador, não há assíntota horizontal, mas pode haver uma assíntota oblíqua.
  • Se o grau do numerador for igual ao do denominador, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
  • Se o grau do numerador for menor que o do denominador, a assíntota horizontal é .
No nosso caso, o numerador tem grau 2, e o denominador tem grau 1. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, não temos assíntota horizontal, mas sim uma assíntota oblíqua.

Passo 4

Para encontrar a assíntota oblíqua, fazemos a divisão polinomial do numerador pelo denominador:
Dividindo por :
  1. Multiplicamos por :
  2. Subtraímos do numerador:
  3. Agora,
  4. Multiplicamos por :
  5. Subtraímos novamente:
A divisão resulta em com resto 2. Portanto, a assíntota oblíqua é:

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota oblíqua dada por .

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