Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função $ f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em funções racionais. Vamos usar conceitos de limites e analisar o comportamento da função quando $ x $ tende para infinito e quando o denominador se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Assíntotas horizontais são linhas que a função se aproxima quando $ x $ vai para $ +\infty $ ou $ -\infty $. Para identificar isso, calculamos o limite da função quando $ x $ tende para infinito.
Vamos calcular:
Como os termos de maior grau no numerador e no denominador são $ x^{2} $, podemos dividir cada termo por $ x^{2} $:
O mesmo vale para $ x $ tendendo a $ -\infty $:
Então, a assíntota horizontal é $ y = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos procurar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Vamos resolver a equação:
Resolvendo para $ x $:
Como não existem números reais que satisfazem $ x^{2} = -1 $, não há valores reais de $ x $ que tornem o denominador zero. Portanto, a função não possui assíntotas verticais.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} $ possui uma assíntota horizontal em $ y = 1 $ e não tem assíntotas verticais.