Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
f(x)=x^2-1x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função $ f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em funções racionais. Vamos usar conceitos de limites e analisar o comportamento da função quando $ x $ tende para infinito e quando o denominador se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Assíntotas horizontais são linhas que a função se aproxima quando $ x $ vai para $ +\infty $ ou $ -\infty $. Para identificar isso, calculamos o limite da função quando $ x $ tende para infinito.
Vamos calcular:
x
Como os termos de maior grau no numerador e no denominador são $ x^{2} $, podemos dividir cada termo por $ x^{2} $:
+infty
O mesmo vale para $ x $ tendendo a $ -\infty $:
-infty
Então, a assíntota horizontal é $ y = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Vamos resolver a equação:
x^2 + 1 = 0
Resolvendo para $ x $:
x
x^2 = -1
Como não existem números reais que satisfazem $ x^{2} = -1 $, não há valores reais de $ x $ que tornem o denominador zero. Portanto, a função não possui assíntotas verticais.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} $ possui uma assíntota horizontal em $ y = 1 $ e não tem assíntotas verticais.

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