Encontre os valores de
e
para que a função seja contínua em todos os pontos de seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que essa função seja contínua em todo o seu domínio. Isso significa que não pode ter “saltos” ou interrupções na função. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como igualar os limites nas pontas onde a função muda de expressão.
Passo 2
Vamos começar olhando para o ponto onde a função muda de uma parte para outra, que é em $ x = 0 $. Para a função ser contínua nesse ponto, o valor que vem da esquerda (quando $ x $ se aproxima de 0 por valores menores ou iguais a 0) deve ser igual ao valor que vem da direita (quando $ x $ se aproxima de 0 por valores maiores que 0).
Então, vamos calcular:
- Valor à esquerda de 0: Quando $ x \leq 0 $, $ f(x) = 2x - 1 $. Então, $ f(0) = 2(0) - 1 = -1 $.
- Valor à direita de 0: Quando $ 0 < x < 1 $, $ f(x) = a x^{2} + b $. O limite quando $ x $ se aproxima de 0 por valores positivos é $ f(0) = a(0)^2 + b = b $.
Para ser contínua, esses dois valores devem ser iguais:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o ponto onde a função muda novamente, que é em $ x = 1 $. Novamente, precisamos garantir que a função não tenha salto nesse ponto.
Vamos calcular:
- Valor à esquerda de 1: Quando $ 0 < x < 1 $, $ f(x) = a x^{2} + b $. O limite quando $ x $ se aproxima de 1 por valores menores que 1 é $ f(1) = a(1)^2 + b = a + b $.
- Valor à direita de 1: Quando $ x \geq 1 $, $ f(x) = x + 2 $. Então, $ f(1) = 1 + 2 = 3 $.
Para a continuidade:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
Substituindo $ b = -1 $ na segunda equação:
Resposta
Os valores que garantem a continuidade da função em todo o seu domínio são $ a = 4 $ e $ b = -1 $.