Encontre os valores de
e
para que a função seja contínua em todos os pontos de seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função $ f(x) $ seja contínua em todo o seu domínio. Isso envolve entender o conceito de continuidade de funções, que basicamente significa que não tem “saltos” na gráfica da função. Nossa função é definida por partes, então vamos precisar garantir que as transições entre cada parte sejam suaves, ou seja, que não haja interrupções.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o ponto onde a função muda de uma parte para outra, ou seja, em $ x = 1 $. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 1.
A parte da função para $ x < 1 $ é $ f(x) = x^2 + 1 $. Então, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda:
Passo 3
Agora, olhamos para a parte da função definida para $ 1 \leq x \leq 2 $, que é $ f(x) = a x + b $. O valor da função em $ x = 1 $ é:
Para que a função seja contínua em $ x = 1 $, esses dois resultados devem ser iguais:
Passo 4
Seguimos para o próximo ponto de transição, que é $ x = 2 $. A parte da função para $ 1 \leq x \leq 2 $ é $ f(x) = a x + b $ e para $ x > 2 $ é $ f(x) = 3x $.
Primeiro, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita usando a parte da função $ f(x) = 3x $:
Para continuidade em $ x = 2 $, esses dois limites devem ser iguais:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 7
Com $ a = 4 $, substituímos na primeira equação para encontrar $ b $:
Resposta
Os valores que garantem a continuidade da função são $ a = 4 $ e $ b = -2 $.