Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas (quando existirem) das funções abaixo. f(x) = sen(x) / (x(x - 1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função . Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as possíveis assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos resolver :
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se nessas posições a função realmente tende para infinito, confirmando que são assíntotas verticais. Vamos calcular os limites:
Sabemos que tende para 0 quando tende para 0, mas o denominador também tende para 0, então precisamos analisar o comportamento.
Para :
Como o limite é finito, não há assíntota vertical em .
Para :
Aqui, é uma constante, e tende para infinito. Portanto, existe uma assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Assíntotas horizontais são os limites da função quando tende para ou . Calculamos:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, então:
Quando tende para ou , tende para , então o limite é 0.

Passo 5

Como os limites quando tende para e para são iguais a 0, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 6

Por fim, vamos verificar se há alguma assíntota oblíqua. Assíntotas oblíquas acontecem quando o limite da função menos uma reta linear tende para 0 quando tende para ou . Porém, já identificamos uma assíntota horizontal em e, nesse caso, não há necessidade de uma oblíqua. Além disso, o grau do numerador é menor que o do denominador, o que confirma que não há assíntotas oblíquas.

Resposta

A função possui:
  • Uma assíntota vertical em .
  • Uma assíntota horizontal em .
  • Não possui assíntotas oblíquas.

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