Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas (quando existirem) das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função . Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as possíveis assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos resolver
:
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se nessas posições a função realmente tende para infinito, confirmando que são assíntotas verticais. Vamos calcular os limites:
Sabemos que tende para 0 quando
tende para 0, mas o denominador também tende para 0, então precisamos analisar o comportamento.
Para
:
Como o limite é finito, não há assíntota vertical em
.
Para
:
Aqui, é uma constante, e
tende para infinito. Portanto, existe uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Assíntotas horizontais são os limites da função quando
tende para
ou
. Calculamos:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, então:
Quando
tende para
ou
,
tende para
, então o limite é 0.
Passo 5
Como os limites quando
tende para
e para
são iguais a 0, temos uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
Por fim, vamos verificar se há alguma assíntota oblíqua. Assíntotas oblíquas acontecem quando o limite da função menos uma reta linear tende para 0 quando
tende para
ou
. Porém, já identificamos uma assíntota horizontal em
e, nesse caso, não há necessidade de uma oblíqua. Além disso, o grau do numerador é menor que o do denominador, o que confirma que não há assíntotas oblíquas.
Resposta
A função possui:
- Uma assíntota vertical em
. - Uma assíntota horizontal em
. - Não possui assíntotas oblíquas.