definida no domínio e . As condições de contorno são:
para
para
Vamos precisar usar a separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução .
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução u(x, y) = X(x) Y(y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependendo só de X''(x) Y(y) + X(x) Y''(y) = 0 e outra só de X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0 :
X''(x)X(x) = -lambda e Y''(y)Y(y) = lambda
Essa é a técnica de separação de variáveis. Ao substituir na equação de Laplace, teremos:
Dividindo os dois lados por :
Isso nos leva a igualar cada termo a uma constante negativa, digamos , resultando em duas equações ordinárias:
Passo 3
Vamos resolver para X''(x) + lambda X(x) = 0 primeiro. A equação para X(x) = A cos(raizlambda x) + B sin(raizlambda x) fica:
As soluções dessa equação diferem dependendo do sinal de . Como estamos em um domínio finito e com condições de contorno específicas, vamos considerar que . Então, a solução geral para é:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição de contorno partial upartial x = X'(x) Y(y) = (-A raizlambda sin(raizlambda x) + B raizlambda cos(raizlambda x)) Y(y) . Derivando partial upartial x|x=0 = B raizlambda Y(y) = 0 em relação a X(x) = A cos(raizlambda x) :
No ponto :
Para que isso valha para todo , temos que . Então, a solução para fica:
Passo 5
Agora, vamos para a equação de Y''(y) - lambda Y(y) = 0 :
Y(y) = C cosh(raizlambda y) + D sinh(raizlambda y)
A solução geral dessa equação também depende de . Com , a solução é:
Passo 6
Aplicamos a condição de contorno partial upartial y = X(x) Y'(y) = X(x) (C raizlambda sinh(raizlambda y) + D raizlambda cosh(raizlambda y)) . Derivando C sinh(raizlambda) + D cosh(raizlambda) = 0 em relação a Y(y) = C (cosh(raizlambda y) - tanh(raizlambda) sinh(raizlambda y)) :
No ponto :
Para que a derivada seja zero, devemos ter . Então, a solução para fica:
Passo 7
Agora, temos a forma da solução u(x, y) = A cos(raizlambda x) (cosh(raizlambda y) - tanh(raizlambda) sinh(raizlambda y)) :
A cos(raizlambda) (cosh(raizlambda y) - tanh(raizlambda) sinh(raizlambda y)) = u0
Precisamos satisfazer a condição de contorno . Substituindo :
Passo 8
Para determinar os valores de que satisfazem essa equação, precisamos expandir em uma série de Fourier que respeite as condições de contorno. Isso envolve escolher de forma que as condições sejam atendidas, utilizando as funções ortogonais apropriadas.
Após aplicar a série de Fourier e calcular os coeficientes, a solução geral será uma soma infinita de termos da forma encontrada, com diferentes .
Resposta
A solução do problema de valor de contorno é dada por:
u(x, y) = sumn=0^infty An cos(n pi x) (cosh(n pi y) - tanh(n pi) sinh(n pi y))
onde os coeficientes são determinados a partir da condição de contorno utilizando a série de Fourier.