Determine os autovalores e os autoespaços dos seguintes operadores lineares no plano:
T(x, y)=(x+y, x+y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear definido no plano, ou seja, no espaço , e queremos encontrar os autovalores e os autoespaços desse operador. Autovalores são valores escalares que, quando aplicados ao operador, não mudam a direção dos vetores, apenas os esticam ou encolhem. Os autoespaços são os conjuntos de vetores que correspondem a cada autovalor, ou seja, os vetores que são “esticados” apenas em sua própria direção pelo operador .

Passo 2

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica do operador det(T - lambda I) = 0 . Essa equação é dada por:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos primeiro representar o operador T(x, y) = (x + y, x + y) como uma matriz. Dado que:
T = 1 & 1 1 & 1
Podemos escrever a matriz de como:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz T - lambda I = 1 - lambda & 1 1 & 1 - lambda :

Passo 5

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (1)(1) = (1 - lambda)^2 - 1
Simplificando:
(1 - lambda)^2 - 1 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda

Passo 6

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 2lambda = 0
Fatorando:
lambda(lambda - 2) = 0
Assim, os autovalores são:
lambda1 = 0 e lambda2 = 2

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor.
Para 1 & 1 1 & 1 x y = 0 0 :
Resolvemos x + y = 0 :

[
-1 & 1 1 & -1 x y = 0 0
- x + y = 0 Rightarrow y = x


]
Isso nos dá as equações:
Portanto, os vetores são da forma .
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá as equações:
Portanto, os vetores são da forma .

Resposta

Os autovalores do operador são e .
  • Autoespaço correspondente a : Todos os vetores da forma .
  • Autoespaço correspondente a : Todos os vetores da forma .

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