Determine os autovalores e os autoespaços dos seguintes operadores lineares no plano:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear
definido no plano, ou seja, no espaço
, e queremos encontrar os autovalores e os autoespaços desse operador. Autovalores são valores escalares
que, quando aplicados ao operador, não mudam a direção dos vetores, apenas os esticam ou encolhem. Os autoespaços são os conjuntos de vetores que correspondem a cada autovalor, ou seja, os vetores que são “esticados” apenas em sua própria direção pelo operador
.
Passo 2
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica do operador
. Essa equação é dada por:
onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos primeiro representar o operador
como uma matriz. Dado que:
Podemos escrever a matriz de
como:
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz
:
Passo 5
Calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 6
Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Fatorando:
Assim, os autovalores são:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá as equações:
Portanto, os vetores são da forma
.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá as equações:
Portanto, os vetores são da forma
.
Resposta
Os autovalores do operador
são
e
.
-
Autoespaço correspondente a
: Todos os vetores da forma . -
Autoespaço correspondente a
: Todos os vetores da forma .