Sejam as bases A=v1, v2 e B=w1, w2 do R^2, onde v1=(2,-1), v2=(-1,1) e w1= (1,0), w2=(2,1)
a) Determinar a matriz-mudança de base de A para B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é duas bases do plano : a base e a base . Os vetores dessas bases são , , e . O que a gente precisa descobrir é a matriz que faz a mudança de base de para . Isso significa que queremos uma matriz que, ao ser aplicada a um vetor na base , nos dá as coordenadas desse mesmo vetor na base .

Passo 2

Para encontrar a matriz de mudança de base, vamos primeiro entender que essa matriz será formada pelas coordenadas dos vetores de em relação à base . Ou seja, vamos expressar cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos começar com o vetor v1 = a cdot w1 + b cdot w2 . Queremos encontrar números (2, -1) = a cdot (1, 0) + b cdot (2, 1) e 2 = a + 2b -1 = 0a + b tais que:
Substituindo os valores, temos:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o segundo equação primeiro:
-1 = b Rightarrow b = -1
Substituindo 2 = a + 2(-1) 2 = a - 2 a = 4 na primeira equação:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor v2 = c cdot w1 + d cdot w2 . Queremos encontrar (-1, 1) = c cdot (1, 0) + d cdot (2, 1) e -1 = c + 2d 1 = 0c + d tais que:
Substituindo os valores:
Isso nos dá o sistema:

Passo 6

Resolvendo a segunda equação:
1 = d Rightarrow d = 1
Substituindo -1 = c + 2(1) -1 = c + 2 c = -3 na primeira equação:
Então, .

Passo 7

Agora que temos as coordenadas dos vetores de P = 4 & -3 -1 & 1 na base , podemos construir a matriz de mudança de base. Essa matriz terá como colunas as coordenadas de e em relação a :

Resposta

A matriz-mudança de base de 4 & -3 -1 & 1 para é:

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