Sejam as bases
e
do
, onde
e
a) Determinar a matriz-mudança de base de
para
.
a) Determinar a matriz-mudança de base de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é duas bases do plano
: a base
e a base
. Os vetores dessas bases são
,
,
e
. O que a gente precisa descobrir é a matriz que faz a mudança de base de
para
. Isso significa que queremos uma matriz que, ao ser aplicada a um vetor na base
, nos dá as coordenadas desse mesmo vetor na base
.
Passo 2
Para encontrar a matriz de mudança de base, vamos primeiro entender que essa matriz será formada pelas coordenadas dos vetores de
em relação à base
. Ou seja, vamos expressar cada vetor de
como uma combinação linear dos vetores de
.
Passo 3
Vamos começar com o vetor
. Queremos encontrar números
e
tais que:
Substituindo os valores, temos:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o segundo equação primeiro:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor
. Queremos encontrar
e
tais que:
Substituindo os valores:
Isso nos dá o sistema:
Passo 6
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos as coordenadas dos vetores de
na base
, podemos construir a matriz de mudança de base. Essa matriz terá como colunas as coordenadas de
e
em relação a
:
Resposta
A matriz-mudança de base de
para
é: