Sejam as bases A=v1, v2 e B=w1, w2 do R^2, onde v1=(2,-1), v2=(-1,1) e w1= (1,0), w2=(2,1)
b) Utilizar a matriz [I]B^A para calcular [v]B, sabendo que [v]A=[l4 3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de mudança de base em 4 3! O enunciado nos dá duas bases, e , e queremos usar a matriz de mudança de base para encontrar as coordenadas do vetor na base , sabendo que na base ele tem coordenadas .
Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e calcular a matriz . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. A matriz transforma as coordenadas de um vetor da base para a base . Ou seja, se temos , multiplicando pela matriz teremos .
Então, nossa tarefa principal é encontrar a matriz .

Passo 3

Para achar a matriz , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . Ou seja, para cada de , vamos encontrar as coordenadas .
Vamos começar com .

Passo 4

Queremos encontrar v1 = a cdot w1 + b cdot w2 , ou seja, números (2, -1) = a cdot (1, 0) + b cdot (2, 1) e 2 = a + 2b -1 = 0a + b tais que:
Substituindo os vetores:
Isso dá o sistema de equações:

Passo 5

Do segundo sistema, já temos que 2 = a + 2(-1) implies 2 = a - 2 implies a = 4 .
Substituindo na primeira equação:
4 -1
Então, .

Passo 6

Agora vamos encontrar v2 = c cdot w1 + d cdot w2 . Temos (-1, 1) = c cdot (1, 0) + d cdot (2, 1) .
Queremos encontrar -1 = c + 2d 1 = 0c + d e tais que:
Substituindo:
Isso resulta no sistema:

Passo 7

Do segundo sistema, temos -1 = c + 2(1) implies -1 = c + 2 implies c = -3 .
Substituindo na primeira equação:
-3 1
Portanto, .

Passo 8

Agora que temos [I]B^A = 4 & -3 -1 & 1 e , podemos montar a matriz de mudança de base . Essa matriz tem como colunas as coordenadas de e na base :

Passo 9

Com a matriz [v]B = [I]B^A cdot [v]A pronta, vamos usá-la para encontrar 4 3. Sabemos que:
[v]B = 4 & -3 -1 & 1 cdot 4 3
Dado que , vamos multiplicar:

Passo 10

Vamos realizar a multiplicação:

[
4 cdot 4 + (-3) cdot 3 -1 cdot 4 + 1 cdot 3 = 16 - 9 -4 + 3 = 7 -1


]

Resposta

Então, as coordenadas do vetor [v]B = 7 -1 na base são:

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