Sejam as bases
e
do
, onde
e
b) Utilizar a matriz
para calcular
, sabendo que
.
b) Utilizar a matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de mudança de base em
! O enunciado nos dá duas bases,
e
, e queremos usar a matriz de mudança de base
para encontrar as coordenadas do vetor
na base
, sabendo que na base
ele tem coordenadas
.
Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e calcular a matriz
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. A matriz
transforma as coordenadas de um vetor da base
para a base
. Ou seja, se temos
, multiplicando pela matriz
teremos
.
Então, nossa tarefa principal é encontrar a matriz
.
Passo 3
Para achar a matriz
, precisamos expressar cada vetor da base
em termos da base
. Ou seja, para cada
de
, vamos encontrar as coordenadas
.
Vamos começar com
.
Passo 4
Queremos encontrar
, ou seja, números
e
tais que:
Substituindo os vetores:
Isso dá o sistema de equações:
Passo 5
Do segundo sistema, já temos que
.
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Passo 6
Agora vamos encontrar
. Temos
.
Queremos encontrar
e
tais que:
Substituindo:
Isso resulta no sistema:
Passo 7
Do segundo sistema, temos
.
Substituindo na primeira equação:
Portanto,
.
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos montar a matriz de mudança de base
. Essa matriz tem como colunas as coordenadas de
e
na base
:
Passo 9
Com a matriz
pronta, vamos usá-la para encontrar
. Sabemos que:
Dado que
, vamos multiplicar:
Passo 10
Vamos realizar a multiplicação:
[
]
Resposta
Então, as coordenadas do vetor
na base
são: