Dado o operador linear T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(4 x+5 y, 2 x+y), encontre uma base de autovetores que diagonalize o operador T

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear T que transforma um vetor em . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base de autovetores que vai diagonalizar esse operador T. Isso significa que vamos achar vetores que, quando aplicamos T, o resultado é simplesmente uma escala desse vetor original. Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores, que são conceitos fundamentais em álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de T. Para isso, usamos a equação característica, que é dada por:
det(T - lambda I) = 0
Aqui, T - lambda I = 4 - lambda & 5 2 & 1 - lambda é a matriz identidade e det(T - lambda I) = (4 - lambda)(1 - lambda) - (5)(2) representa os autovalores que queremos encontrar. Vamos montar a matriz = (4 - lambda)(1 - lambda) - 10 :
= 4(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) - 10
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
= 4 - 4lambda - lambda + lambda^2 - 10
= lambda^2 -5lambda -6
lambda^2 -5lambda -6 = 0
Então, a equação característica é:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores lambda^2 -5lambda -6 = 0 . A equação é:
lambda = 5 pm raiz25 + 242 = 5 pm raiz492 = 5 pm 72
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 5 + 72 = 6
Assim, temos duas soluções:
lambda2 = 5 - 72 = -1
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Com os autovalores em mãos, agora vamos achar os autovetores correspondentes a cada (T - lambda I)v = 0 . Para cada T - 6I = 4 -6 & 5 2 & 1 -6 = -2 & 5 2 & -5 , resolvemos a equação:
-2x + 5y = 0
Vamos começar com 2x -5y = 0 :
-2x + 5y = 0 Rightarrow 2x = 5y Rightarrow x = 52y
Agora, resolvemos o sistema:
x = 52 times 2 = 5
5 2
Essas equações são equivalentes, então podemos expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo, da primeira equação:
Podemos escolher para facilitar:
Então, um autovetor para é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o autovetor para T - (-1)I = T + I = 4 +1 & 5 2 & 1 +1 = 5 & 5 2 & 2 :
5x + 5y = 0
Resolvendo o sistema:
2x + 2y = 0
5x + 5y = 0 Rightarrow x = -y
Simplificando a primeira equação:
x = -1
Podemos escolher -1 1:
Então, um autovetor para é .

Resposta

A base de autovetores que diagonaliza o operador 5 2 é formada pelos vetores -1 1 e .

Exercícios relacionados