Dado o operador linear
tal que
, encontre uma base de autovetores que diagonalize o operador
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear T que transforma um vetor
em
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base de autovetores que vai diagonalizar esse operador T. Isso significa que vamos achar vetores que, quando aplicamos T, o resultado é simplesmente uma escala desse vetor original. Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores, que são conceitos fundamentais em álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de T. Para isso, usamos a equação característica, que é dada por:
Aqui,
é a matriz identidade e
representa os autovalores que queremos encontrar. Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Então, a equação característica é:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores
. A equação é:
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 4
Com os autovalores em mãos, agora vamos achar os autovetores correspondentes a cada
. Para cada
, resolvemos a equação:
Vamos começar com
:
Agora, resolvemos o sistema:
Essas equações são equivalentes, então podemos expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo, da primeira equação:
Podemos escolher
para facilitar:
Então, um autovetor para
é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o autovetor para
:
Resolvendo o sistema:
Simplificando a primeira equação:
Podemos escolher
:
Então, um autovetor para
é
.
Resposta
A base de autovetores que diagonaliza o operador
é formada pelos vetores
e
.