Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto
e precisa verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero
Vamos ver se o vetor zero está em
:
Isso é verdade, então o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição
Agora, vamos pegar dois vetores quaisquer em
e somar. Seja
e
em
, então:
Ao somar
e
:
Para que
esteja em
, precisamos que:
Mas, expandindo o lado direito:
Então, teríamos:
Comparando com
, vemos que:
Isso não é verdadeiro para todos os
e
, então o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar
Mesmo que já tenhamos visto que
não é um subespaço, vamos conferir essa última condição para entender melhor.
Seja
em
e
um escalar qualquer, então:
Para que
esteja em
:
Como
, substituindo:
Isso só é verdade para todo
se
ou
, o que não cobre todos os casos possíveis. Portanto,
também não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
, pois não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.