Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo. F=(x, y, z, w) in R^4 mid w=y^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto e precisa verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero
Vamos ver se o vetor zero está em w = y^2 Rightarrow 0 = 0^2 Rightarrow 0 = 0 :
Isso é verdade, então o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição
Agora, vamos pegar dois vetores quaisquer em w1 = y1^2 e w2 = y2^2 e somar. Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) e w1 + w2 = (y1 + y2)^2 em (y1 + y2)^2 = y1^2 + 2y1y2 + y2^2 , então:
w1 + w2 = y1^2 + y2^2 + 2y1y2
Ao somar w1 + w2 neq (y1 + y2)^2 a menos que 2y1y2 = 0 e :
Para que esteja em , precisamos que:
Mas, expandindo o lado direito:
Então, teríamos:
Comparando com , vemos que:
Isso não é verdadeiro para todos os e , então o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar
Mesmo que já tenhamos visto que c cdot u = (c x, c y, c z, c w) não é um subespaço, vamos conferir essa última condição para entender melhor.
Seja c w = (c y)^2 Rightarrow c w = c^2 y^2 em c y^2 = c^2 y^2 e um escalar qualquer, então:
Para que esteja em :
Como , substituindo:
Isso só é verdade para todo se ou , o que não cobre todos os casos possíveis. Portanto, também não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

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