Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto e precisa verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de precisa satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Contém o vetor zero
Vamos ver se o vetor zero está em :
Isso é verdade, então o vetor zero está em .
Passo 4
2. Fechado sob adição
Agora, vamos pegar dois vetores quaisquer em e somar. Seja e em , então:
Ao somar e :
Para que esteja em , precisamos que:
Mas, expandindo o lado direito:
Então, teríamos:
Comparando com , vemos que:
Isso não é verdadeiro para todos os e , então o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar
Mesmo que já tenhamos visto que não é um subespaço, vamos conferir essa última condição para entender melhor.
Seja em e um escalar qualquer, então:
Para que esteja em :
Como , substituindo:
Isso só é verdade para todo se ou , o que não cobre todos os casos possíveis. Portanto, também não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.