Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares.
e.
.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear específico
que age sobre matrizes
. Isso entra no conteúdo de álgebra linear, mais especificamente em teoria de operadores lineares. Para isso, vamos precisar entender como
transforma uma matriz e aplicar as condições para autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o operador
. Ele pega uma matriz
de
(espaço das matrizes
) e troca algumas de suas entradas. Especificamente,
Nosso objetivo é encontrar valores de
e matrizes
não nulas tais que:
Isso significa que ao aplicar
na matriz
, o resultado é a matriz
multiplicada por um escalar
.
Passo 3
Vamos escrever isso de forma mais explícita. Suponha que:
Então,
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar os possíveis valores de
:
- Da primeira equação:
. Ou seja, ou ou . - Da quarta equação:
. Similarmente, ou ou . - Das equações segunda e terceira:
Substituindo a segunda na terceira:
Isso implica que
, ou seja,
ou
.
Então, os possíveis valores de
são 1 e -1.
Passo 5
Agora, vamos achar os autovetores associados a cada autovalor.
-
Para
: As equações se tornam:Isso significa que. Além disso, e podem ser quaisquer valores (já que e ). Portanto, as matrizes autovetores são aquelas onde : -
Para
: As equações se tornam:Isso implica que. Além disso, e devem ser zero (pois e o mesmo para ). Portanto, as matrizes autovetores são aquelas onde e :
Resposta
Os autovalores do operador
são
e
.
-
Para
, os autovetores são todas as matrizes simétricas em . -
Para
, os autovetores são todas as matrizes anti-simétricas em .
Exercícios relacionados
Use a definição de operador linear que foi dada nesta seção para mostrar que a função
dada pela fórmula
é um operador linear.
Determine os valores de
,
e
para que as matrizes
e
sejam iguais.
Num triângulo ABC , seja
o ponto médio do lado AB e
um ponto do lado AC , tal que
é paralelo a BC . Prove que
é o ponto médio do lado AC .
Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares.
c. .
c.