Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares.
e. T: M2 M2, T([lla & b c & d])=(lla & c b & d).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear específico que age sobre matrizes . Isso entra no conteúdo de álgebra linear, mais especificamente em teoria de operadores lineares. Para isso, vamos precisar entender como transforma uma matriz e aplicar as condições para autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o operador T( a & b c & d ) = a & c b & d . Ele pega uma matriz T(X) = lambda X de (espaço das matrizes ) e troca algumas de suas entradas. Especificamente,
Nosso objetivo é encontrar valores de e matrizes não nulas tais que:
Isso significa que ao aplicar na matriz , o resultado é a matriz multiplicada por um escalar .

Passo 3

Vamos escrever isso de forma mais explícita. Suponha que:
X = a & b c & d
Então,
T(X) = a & c b & d = lambda a & b c & d = lambda a & lambda b lambda c & lambda d
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar os possíveis valores de c = lambda b e b = lambda c :
  1. Da primeira equação: b = lambda (lambda b) Rightarrow b = lambda^2 b . Ou seja, ou ou .
  2. Da quarta equação: . Similarmente, ou ou .
  3. Das equações segunda e terceira:
Substituindo a segunda na terceira:
Isso implica que , ou seja, ou .
Então, os possíveis valores de são 1 e -1.

Passo 5

Agora, vamos achar os autovetores associados a cada autovalor.
  • Para c = b e b = c :
    As equações se tornam:
    X = a & b b & d
    Isso significa que c = -b e b = -c . Além disso, X = 0 & b -b & 0 e podem ser quaisquer valores (já que e ). Portanto, as matrizes autovetores são aquelas onde :
  • Para :
    As equações se tornam:
    Isso implica que . Além disso, e devem ser zero (pois e o mesmo para ). Portanto, as matrizes autovetores são aquelas onde e :

Resposta

Os autovalores do operador a & b b & d são 0 & b -b & 0 e .
  • Para , os autovetores são todas as matrizes simétricas em .
  • Para , os autovetores são todas as matrizes anti-simétricas em .

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