Use a definição de operador linear que foi dada nesta seção para mostrar que a função
dada pela fórmula
é um operador linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
definida por
é um operador linear. Para resolver isso, vamos usar a definição de operador linear, que envolve duas propriedades principais: preservação da adição de vetores e preservação da multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes condições são satisfeitas:
-
(preservação da adição) -
(preservação da multiplicação por escalar)
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: preservação da adição. Seja
e
. Então,
Simplificando:
Por outro lado,
Observamos que
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: preservação da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então,
Podemos fatorar o
:
Então,
.
Resposta
Como as duas propriedades de um operador linear são satisfeitas, concluímos que
é um operador linear.
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Determine os valores de
,
e
para que as matrizes
e
sejam iguais.
Use a definição de transformação linear que foi dada nesta seção para mostrar que a função
dada pela fórmula
é uma transformação linear.
Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares.
e. .
e.
Num triângulo ABC , seja
o ponto médio do lado AB e
um ponto do lado AC , tal que
é paralelo a BC . Prove que
é o ponto médio do lado AC .