Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares.
c. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 y+3 z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear definido por . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente envolvendo transformações lineares e valores próprios. Para resolver, vamos precisar usar matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear T(x, y, z) = x -2x - y 2y + 3z na forma de uma matriz. Como A = 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 0 0 & 2 & 3 mapeia para , a matriz será . Observando como atua em :
Podemos escrever a matriz de como:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade .

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 -2 & -1 - lambda & 0 0 & 2 & 3 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 5

O determinante de uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zeros) é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. No nosso caso, a matriz det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot (-1 - lambda) cdot (3 - lambda) é upper triangular (todos os elementos abaixo da diagonal são zero), então:

Passo 6

Vamos igualar o determinante a zero para encontrar os valores de (1 - lambda)(-1 - lambda)(3 - lambda) = 0 :
lambda1 = 1, lambda2 = -1, lambda3 = 3
Portanto, os autovalores são as soluções dessa equação:

Passo 7

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor, resolvemos o sistema , onde é o autovetor.

Passo 8

Para 0 & 0 & 0 -2 & -2 & 0 0 & 2 & 2 :
0x + 0y + 0z = 0 -2x - 2y + 0z = 0 0x + 2y + 2z = 0 :
-2x - 2y = 0 Rightarrow x = -y 2y + 2z = 0 Rightarrow z = -y
Resolvendo o sistema:
x = -t, y = t, z = -t
Simplificando:
v1 = t -1 1 -1
Podemos expressar v1 = -1 1 -1 como parâmetro livre :
Então, o autovetor é:
Podemos escolher , então:

Passo 9

Para 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 0 & 2 & 4 :
2x + 0y + 0z = 0 Rightarrow x = 0 -2x + 0y + 0z = 0 Rightarrow 0 = 0 0x + 2y + 4z = 0 Rightarrow y = -2z :
x = 0, y = -2s, z = s
Resolvendo o sistema:
v2 = s 0 -2 1
Expressando v2 = 0 -2 1 como parâmetro livre :
Então, o autovetor é:
Podemos escolher , então:

Passo 10

Para -2 & 0 & 0 -2 & -4 & 0 0 & 2 & 0 :
-2x + 0y + 0z = 0 Rightarrow x = 0 -2x -4y + 0z = 0 Rightarrow 0 -4y = 0 Rightarrow y = 0 0x + 2y + 0z = 0 Rightarrow 0 = 0 :
x = 0, y = 0, z é livre
Resolvendo o sistema:
v3 = r 0 0 1
Assim, temos:
v3 = 0 0 1 é
Expressando como parâmetro livre :
Podemos escolher , então:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores são:
lambda1 &= 1, v1 = -1 1 -1 lambda2 &= -1, v2 = 0 -2 1 lambda3 &= 3, v3 = 0 0 1

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