Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares.
c. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear definido por . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente envolvendo transformações lineares e valores próprios. Para resolver, vamos precisar usar matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear na forma de uma matriz. Como mapeia para , a matriz será . Observando como atua em :
Podemos escrever a matriz de como:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade .
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 5
O determinante de uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zeros) é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. No nosso caso, a matriz det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot (-1 - lambda) cdot (3 - lambda) é upper triangular (todos os elementos abaixo da diagonal são zero), então:
Passo 6
Vamos igualar o determinante a zero para encontrar os valores de (1 - lambda)(-1 - lambda)(3 - lambda) = 0 :
lambda1 = 1, lambda2 = -1, lambda3 = 3
Portanto, os autovalores são as soluções dessa equação:
Passo 7
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor, resolvemos o sistema , onde é o autovetor.