Determine a base b de um sistema na qual (234) base 6 se escreve como (28) )b.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número representado na base 6, que é , e queremos descobrir qual a base b em que esse mesmo número seria representado como . Para resolver isso, vamos precisar converter ambos os números para a base decimal (base 10) e igualá-los.

Passo 2

Vamos começar convertendo para a base decimal. Para isso, cada dígito do número na base original é multiplicado pela potência da base correspondente à sua posição, contando da direita para a esquerda começando em 0.
A fórmula geral para converter um número de base n para a base decimal é:
Onde são os dígitos do número.
Aplicando isso a :
Calculando cada termo:
Somando todos:
Então, na base decimal é .

Passo 3

Agora, vamos converter para a base decimal usando a mesma lógica. Aplicando a fórmula:
Isso simplifica para:

Passo 4

Sabemos que ambas as representações devem equivaler ao mesmo valor decimal. Portanto, podemos igualar as duas expressões:
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar o valor de b.

Passo 5

Subtraindo 8 de ambos os lados da equação:
Agora, dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

A base b é igual a .

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