Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(a) (10 pontos)( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear tenha somente a solução trivial é que .
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a condição é necessária e suficiente para que o sistema linear tenha apenas a solução trivial (ou seja, ). Isso envolve conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares homogêneos.
Passo 2
Primeiro, lembremos que um sistema linear homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial . A questão é determinar quando essa é a única solução.
Passo 3
Sabemos que se o determinante da matriz for diferente de zero (), então a matriz é inversível. Uma matriz inversível tem a propriedade de que o único vetor que satisfaz é o vetor nulo, ou seja, .
Passo 4
Portanto, se , o sistema tem apenas a solução trivial. Isso mostra que a condição é suficiente.
Passo 5
Além disso, para que somente a solução trivial exista, a matriz precisa ser de posto completo, o que também implica que . Portanto, a condição também é necessária.
Resposta
Verdadeiro. A condição é necessária e suficiente para que o sistema tenha somente a solução trivial.