Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(a) (10 pontos)( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear A X=0 tenha somente a solução trivial é que det A neq 0.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a condição det A neq 0 é necessária e suficiente para que o sistema linear A X = 0 tenha apenas a solução trivial (ou seja, X = 0). Isso envolve conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Primeiro, lembremos que um sistema linear homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial X = 0. A questão é determinar quando essa é a única solução.

Passo 3

Sabemos que se o determinante da matriz A for diferente de zero ( det A neq 0), então a matriz A é inversível. Uma matriz inversível tem a propriedade de que o único vetor X que satisfaz A X = 0 é o vetor nulo, ou seja, X = 0.

Passo 4

Portanto, se det A neq 0, o sistema A X = 0 tem apenas a solução trivial. Isso mostra que a condição é suficiente.

Passo 5

Além disso, para que somente a solução trivial exista, a matriz A precisa ser de posto completo, o que também implica que det A neq 0. Portanto, a condição det A neq 0 também é necessária.

Resposta

Verdadeiro. A condição det A neq 0 é necessária e suficiente para que o sistema A X = 0 tenha somente a solução trivial.

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