Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(b) (10 pontos)( ) Se k=8 os vetores u=(1,1,2), v=(-1,2,3) e w=(k,-1,1) são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema aqui sobre independência linear. O enunciado diz que, quando , os vetores , e são linearmente independentes? Vamos descobrir o que significa isso e como resolver.

Passo 2

Primeiro, o que é independência linear? Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, não existe nenhum número a cdot u + b cdot v + c cdot w = 0 , e , diferentes de zero, tal que:
Para verificar isso, a gente pode montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz A = 1 & -1 & 8 1 & 2 & -1 2 & 3 & 1 com os vetores , e como colunas:
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Para calcular o determinante de uma matriz det(A) = 1 cdot 2 cdot 1 + (-1) cdot (-1) cdot 2 + 8 cdot 1 cdot 3 - 8 cdot 2 cdot 2 - (-1) cdot 1 cdot 1 - 1 cdot (-1) cdot 3 , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
= 2 + 2 + 24 - 32 - (-1) - (-3)
Calculando cada termo:
= 2 + 2 + 24 - 32 + 1 + 3
= (2+2+24) + (-32+1+3)
= 28 - 28 = 0

Passo 5

O determinante da matriz é zero. Isso significa que os vetores , e são linearmente dependentes quando .

Resposta

Falso. Quando , os vetores , e são linearmente dependentes, pois o determinante da matriz formada por eles é zero.

Exercícios relacionados

Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(a) (10 pontos)( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear A X=0 tenha somente a solução trivial é que det A neq 0.
Seja T: R^3 R^3 um operador linear definido por
T(1,0,0)=(1,0,0) T(0,1,0)=(0,1,0). Mostre que T é um isomorfismo.
Determine uma base para o núcleo e uma base para a imagem da transformaçâo linear T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x-y, x+z).
Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: Em R^3,(1,1,1),(1,2,1).