Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(b) (10 pontos)( ) Se os vetores e são linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema aqui sobre independência linear. O enunciado diz que, quando , os vetores , e são linearmente independentes? Vamos descobrir o que significa isso e como resolver.
Passo 2
Primeiro, o que é independência linear? Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, não existe nenhum número , e , diferentes de zero, tal que:
Para verificar isso, a gente pode montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores , e como colunas:
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
Para calcular o determinante de uma matriz det(A) = 1 cdot 2 cdot 1 + (-1) cdot (-1) cdot 2 + 8 cdot 1 cdot 3 - 8 cdot 2 cdot 2 - (-1) cdot 1 cdot 1 - 1 cdot (-1) cdot 3 , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
= 2 + 2 + 24 - 32 - (-1) - (-3)
Calculando cada termo:
= 2 + 2 + 24 - 32 + 1 + 3
= (2+2+24) + (-32+1+3)
= 28 - 28 = 0
Passo 5
O determinante da matriz é zero. Isso significa que os vetores , e são linearmente dependentes quando .
Resposta
Falso. Quando , os vetores , e são linearmente dependentes, pois o determinante da matriz formada por eles é zero.