Determine uma base ortonormal para que contenha o vetor usando o produto escalar usual.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base ortonormal para que inclua o vetor . Para isso, vamos usar o produto escalar usual e o processo de Gram-Schmidt. Precisamos transformar em um vetor unitário e encontrar mais dois vetores que sejam ortogonais entre si e a .
Passo 2
Primeiro, vamos transformar em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a norma de :
Então, o primeiro vetor da nossa base ortonormal é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um segundo vetor que seja ortogonal a . Vamos escolher um vetor arbitrário, por exemplo, , e aplicar o processo de Gram-Schmidt para torná-lo ortogonal a .
Primeiro, projetamos sobre :
Calculando o produto escalar:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de para obter um vetor ortogonal a :
Agora, normalizamos para obter :
Então,
Passo 4
Para encontrar o terceiro vetor , que seja ortogonal tanto a quanto a , podemos usar o produto vetorial entre e :