Determine uma base ortonormal para que contenha o vetor usando o produto escalar usual.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base ortonormal para que inclua o vetor . Para isso, vamos usar o produto escalar usual e o processo de Gram-Schmidt. Precisamos transformar em um vetor unitário e encontrar mais dois vetores que sejam ortogonais entre si e a .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a norma de :
Então, o primeiro vetor da nossa base ortonormal é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um segundo vetor que seja ortogonal a . Vamos escolher um vetor arbitrário, por exemplo, , e aplicar o processo de Gram-Schmidt para torná-lo ortogonal a .
Primeiro, projetamos sobre :
Calculando o produto escalar:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de para obter um vetor ortogonal a :
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Passo 4

Para encontrar o terceiro vetor , que seja ortogonal tanto a quanto a , podemos usar o produto vetorial entre e :
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Agora, normalizamos :
Então,

Resposta

A base ortonormal para que contém o vetor é:

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Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :
(a) hiperplano ;
(b) conjunto solução de ;
© conjunto-solução de ;
(d) .
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de :
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .