Determine uma base ortonormal para R^3 que contenha o vetor v1=(-2,1,1) usando o produto escalar usual.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base ortonormal para R^3 que inclua o vetor v1 = (-2, 1, 1). Para isso, vamos usar o produto escalar usual e o processo de Gram-Schmidt. Precisamos transformar v1 em um vetor unitário e encontrar mais dois vetores que sejam ortogonais entre si e a v1.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar v1 em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a norma de v1:
|v1| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Então, o primeiro vetor da nossa base ortonormal é:
u1 = v1|v1| = ( -2raiz6, 1raiz6, 1raiz6 )

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um segundo vetor que seja ortogonal a u1. Vamos escolher um vetor arbitrário, por exemplo, v2 = (1, 0, 0), e aplicar o processo de Gram-Schmidt para torná-lo ortogonal a u1.
Primeiro, projetamos v2 sobre u1:
proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1
Calculando o produto escalar:
v2 cdot u1 = 1 cdot ( -2raiz6 ) + 0 cdot ( 1raiz6 ) + 0 cdot ( 1raiz6 ) = -2raiz6
Então,
proju1 v2 = -2raiz6 cdot u1 = -2raiz6 cdot ( -2raiz6, 1raiz6, 1raiz6 ) = ( 46, -26, -26 ) = ( 23, -13, -13 )
Agora, subtraímos essa projeção de v2 para obter um vetor ortogonal a u1:
w2 = v2 - proju1 v2 = (1, 0, 0) - ( 23, -13, -13 ) = ( 13, 13, 13 )
Agora, normalizamos w2 para obter u2:
|w2| = raiz( 13 )^2 + ( 13 )^2 + ( 13 )^2 = raiz19 + 19 + 19 = raiz39 = raiz33
Então,
u2 = w2|w2| = ( 13raiz33, 13raiz33, 13raiz33 ) = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )

Passo 4

Para encontrar o terceiro vetor u3, que seja ortogonal tanto a u1 quanto a u2, podemos usar o produto vetorial entre u1 e u2:
u3 = u1 times u2
Calculando o produto vetorial:
u3 = | ccc i & j & k -2raiz6 & 1raiz6 & 1raiz6 1raiz3 & 1raiz3 & 1raiz3 |
u3 = ( 1raiz6 cdot 1raiz3 - 1raiz6 cdot 1raiz3, 1raiz6 cdot 1raiz3 - -2raiz6 cdot 1raiz3, -2raiz6 cdot 1raiz3 - 1raiz6 cdot 1raiz3 )
Simplificando:
u3 = ( 0, 13 + 23, -23 - 13 ) = ( 0, 1, -1 )
Agora, normalizamos u3:
|u3| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
Então,
u3 = u3|u3| = ( 0, 1raiz2, -1raiz2 )

Resposta

A base ortonormal para R^3 que contém o vetor v1=(-2,1,1) é:
( -2raiz6, 1raiz6, 1raiz6 ), ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ), ( 0, 1raiz2, -1raiz2 )

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