Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de R^3:
(a) [l1 1 1],[l1 2 3];
(b) [l1 1 1],[l0 0 0],[l3 0 1];
© [l1 1 1],[l1 2 3],[l3 0 1],[l0 1 2];
(d) [l1 1 1],[l2 2 2],[l3 0 1].

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de dois vetores em e queremos saber se eles formam uma base desse espaço. Para isso, precisamos lembrar que uma base precisa ter exatamente três vetores (já que é tridimensional) e que esses vetores devem ser linearmente independentes.

Passo 2

Como temos apenas dois vetores, imediatamente percebemos que eles não podem formar uma base para , pois faltaria um vetor para completar os três necessários. Portanto, sem nem mesmo precisar verificar a independência linear, já sabemos que não é uma base.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto 1 1 1. Aqui temos três vetores, o que é o número necessário para uma base em 0 0 0. Mas precisamos verificar se eles são linearmente independentes.

Passo 4

Sabemos que o vetor 0 0 0 é o vetor nulo. Em qualquer conjunto de vetores, a presença do vetor nulo faz com que o conjunto não seja linearmente independente, já que o vetor nulo pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores com coeficientes zero.

Passo 5

Vamos verificar o conjunto 1 1 1. Temos quatro vetores em 1 2 3. Para ser uma base, precisamos de exatamente três vetores, então já temos um problema. No entanto, vamos verificar a independência linear para entender melhor.

Passo 6

Um conjunto com mais vetores do que a dimensão do espaço ( ) não pode ser linearmente independente. Nesse caso, com quatro vetores em , eles são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 7

Por fim, vamos analisar o conjunto 1 1 1. Temos três vetores, que é o número exato necessário para uma base em 2 2 2. Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 8

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante. A matriz fica assim:
A = 1 & 2 & 3 1 & 2 & 0 1 & 2 & 1
Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 2) - 2 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 3 cdot (1 cdot 2 - 2 cdot 1) :
det(A) = 1 cdot 2 - 2 cdot 1 + 3 cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Nenhum dos conjuntos apresentados (a, b, c, d) é uma base de .

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