Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de dois vetores em e queremos saber se eles formam uma base desse espaço. Para isso, precisamos lembrar que uma base precisa ter exatamente três vetores (já que é tridimensional) e que esses vetores devem ser linearmente independentes.
Passo 2
Como temos apenas dois vetores, imediatamente percebemos que eles não podem formar uma base para , pois faltaria um vetor para completar os três necessários. Portanto, sem nem mesmo precisar verificar a independência linear, já sabemos que não é uma base.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto 1 1 1. Aqui temos três vetores, o que é o número necessário para uma base em 0 0 0. Mas precisamos verificar se eles são linearmente independentes.
Passo 4
Sabemos que o vetor 0 0 0 é o vetor nulo. Em qualquer conjunto de vetores, a presença do vetor nulo faz com que o conjunto não seja linearmente independente, já que o vetor nulo pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores com coeficientes zero.
Passo 5
Vamos verificar o conjunto 1 1 1. Temos quatro vetores em 1 2 3. Para ser uma base, precisamos de exatamente três vetores, então já temos um problema. No entanto, vamos verificar a independência linear para entender melhor.
Passo 6
Um conjunto com mais vetores do que a dimensão do espaço () não pode ser linearmente independente. Nesse caso, com quatro vetores em , eles são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 7
Por fim, vamos analisar o conjunto 1 1 1. Temos três vetores, que é o número exato necessário para uma base em 2 2 2. Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Passo 8
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante. A matriz fica assim: