Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação que envolve as variáveis , e :
O objetivo aqui é identificar e descrever a superfície geométrica que essa equação representa. Para fazer isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, focando em identificar tipos de superfícies como esferas, paraboloides, hiperboloides, entre outros. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos semelhantes. Queremos organizar os termos que envolvem e para facilitar a identificação da superfície. Vamos reescrever a equação assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem e . Completar o quadrado é uma técnica que nos ajuda a transformar expressões quadráticas em formas que facilitam a identificação da geometria.
Para o termo em :
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado:
Então:
Para o termo em :
Primeiro, fatoramos o :
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses:
Então:

Passo 4

Vamos substituir esses resultados de volta na equação original:
Agora, vamos simplificar os termos constantes:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos isolar os termos com :
Para simplificar ainda mais, dividimos todos os termos por 4:
Finalmente, expressamos em função de e :

Passo 6

Agora, vamos identificar o tipo de superfície que essa equação representa. A forma geral que chegamos é:
Essa equação é característica de um paraboloide hiperbólico. Um paraboloide hiperbólico tem a forma geral:
onde são parâmetros que determinam a posição do paraboloide no espaço.

Resposta

A equação dada representa um paraboloide hiperbólico com deslocamento para , e . A superfície é uma sela, típica dos paraboloides hiperbólicos, abrindo-se na direção positiva de e na direção negativa de .

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Determine uma base ortonormal para que contenha o vetor usando o produto escalar usual.
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :
(a) hiperplano ;
(b) conjunto solução de ;
© conjunto-solução de ;
(d) .
Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de :
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .
Resolva pela regra de Cramer e da Inversa os sistemas de equações abaixo: