Determine duas equações cartesianas distintas do plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor . Indique um ponto , distinto de , pertencente a e outro ponto que não está em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar duas equações cartesianas diferentes de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor . Além disso, precisamos indicar um ponto , que está nesse plano e é diferente de , e um ponto que não está no plano. Para isso, vamos usar geometria analítica, especificamente a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
Aqui, é um ponto que está no plano, e é um vetor normal ao plano. No nosso caso, o ponto está no plano e o vetor normal é .

Passo 3

Vamos substituir os valores na equação do plano. Colocando , , e , temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação:
Essa é uma das equações do plano .

Passo 5

Para encontrar uma segunda equação distinta do mesmo plano, podemos multiplicar todos os coeficientes por um número diferente de zero. Por exemplo, se multiplicarmos por 2:
Então, temos duas equações diferentes para o mesmo plano :

Passo 6

Agora, vamos indicar um ponto que pertence ao plano e que é diferente de . Podemos escolher qualquer valor para duas coordenadas e resolver para a terceira. Por exemplo, vamos escolher e :
Substituindo na primeira equação:
Então, o ponto é .

Passo 7

Por fim, precisamos escolher um ponto que não está no plano . Para isso, basta escolher coordenadas que não satisfaçam a equação do plano. Vamos escolher e verificar:
Substituindo na primeira equação:
Como a equação não é satisfeita, o ponto não está no plano .

Resposta

Duas equações cartesianas distintas do plano são:
Um ponto que pertence a é e um ponto que não está em é .

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