Determine duas equações cartesianas distintas do plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
. Indique um ponto
, distinto de
, pertencente a
e outro ponto
que não está em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar duas equações cartesianas diferentes de um plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
. Além disso, precisamos indicar um ponto
, que está nesse plano e é diferente de
, e um ponto
que não está no plano. Para isso, vamos usar geometria analítica, especificamente a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
Aqui,
é um ponto que está no plano, e
é um vetor normal ao plano. No nosso caso, o ponto
está no plano e o vetor normal é
.
Passo 3
Vamos substituir os valores na equação do plano. Colocando
,
,
e
, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação:
Essa é uma das equações do plano
.
Passo 5
Para encontrar uma segunda equação distinta do mesmo plano, podemos multiplicar todos os coeficientes por um número diferente de zero. Por exemplo, se multiplicarmos por 2:
Então, temos duas equações diferentes para o mesmo plano
:
Passo 6
Agora, vamos indicar um ponto
que pertence ao plano
e que é diferente de
. Podemos escolher qualquer valor para duas coordenadas e resolver para a terceira. Por exemplo, vamos escolher
e
:
Substituindo na primeira equação:
Então, o ponto
é
.
Passo 7
Por fim, precisamos escolher um ponto
que não está no plano
. Para isso, basta escolher coordenadas que não satisfaçam a equação do plano. Vamos escolher
e verificar:
Substituindo na primeira equação:
Como a equação não é satisfeita, o ponto
não está no plano
.
Resposta
Duas equações cartesianas distintas do plano
são:
Um ponto
que pertence a
é
e um ponto
que não está em
é
.