Determine duas equações cartesianas distintas do plano pi que passa pelo ponto A= (1,0,2) e é perpendicular ao vetor (3,2,5). Indique um ponto B, distinto de A, pertencente a pi e outro ponto C que não está em pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar duas equações cartesianas diferentes de um plano pi que passa pelo ponto A = (1, 0, 2) e é perpendicular ao vetor (3, 2, 5). Além disso, precisamos indicar um ponto B, que está nesse plano e é diferente de A, e um ponto C que não está no plano. Para isso, vamos usar geometria analítica, especificamente a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Aqui, (x0, y0, z0) é um ponto que está no plano, e (a, b, c) é um vetor normal ao plano. No nosso caso, o ponto A = (1, 0, 2) está no plano e o vetor normal é (3, 2, 5).

Passo 3

Vamos substituir os valores na equação do plano. Colocando a = 3, b = 2, c = 5 e (x0, y0, z0) = (1, 0, 2), temos:
3(x - 1) + 2(y - 0) + 5(z - 2) = 0

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação:
3x - 3 + 2y + 5z - 10 = 0
3x + 2y + 5z - 13 = 0
Essa é uma das equações do plano pi.

Passo 5

Para encontrar uma segunda equação distinta do mesmo plano, podemos multiplicar todos os coeficientes por um número diferente de zero. Por exemplo, se multiplicarmos por 2:
2 times (3x + 2y + 5z - 13) = 0
6x + 4y + 10z - 26 = 0
Então, temos duas equações diferentes para o mesmo plano pi:
  1. 3x + 2y + 5z - 13 = 0
  2. 6x + 4y + 10z - 26 = 0

Passo 6

Agora, vamos indicar um ponto B que pertence ao plano pi e que é diferente de A. Podemos escolher qualquer valor para duas coordenadas e resolver para a terceira. Por exemplo, vamos escolher y = 1 e z = 0:
Substituindo na primeira equação:
3x + 2(1) + 5(0) - 13 = 0
3x + 2 - 13 = 0
3x - 11 = 0
x = 113
Então, o ponto B é (113, 1, 0).

Passo 7

Por fim, precisamos escolher um ponto C que não está no plano pi. Para isso, basta escolher coordenadas que não satisfaçam a equação do plano. Vamos escolher C = (0, 0, 0) e verificar:
Substituindo na primeira equação:
3(0) + 2(0) + 5(0) - 13 = -13 neq 0
Como a equação não é satisfeita, o ponto C = (0, 0, 0) não está no plano pi.

Resposta

Duas equações cartesianas distintas do plano pi são:
  1. 3x + 2y + 5z - 13 = 0
  2. 6x + 4y + 10z - 26 = 0
Um ponto B que pertence a pi é (113, 1, 0) e um ponto C que não está em pi é (0, 0, 0).

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