Determine 3 C cdot(2 A times B) para os vetores A=2 i+3 j-4 k, B=-3 i+4 j+2 k e C=7 i-8 j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer a gente calcular . Aqui estamos trabalhando com produto escalar e produto vetorial de vetores. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como calcular o produto vetorial ( ) e o produto escalar ( ). Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. A constante 3 está multiplicando toda a expressão, então podemos calcular primeiro e depois multiplicar o resultado por 3.

Passo 3

Vamos calcular 2 A = 2(2 i + 3 j - 4 k) = 4 i + 6 j - 8 k . A vetor é , então multiplicando por 2:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial U times V = (u2 v3 - u3 v2)i - (u1 v3 - u3 v1)j + (u1 v2 - u2 v1)k . A vetor 2 A times B &= (6 cdot 2 - (-8) cdot 4)i - (4 cdot 2 - (-8) cdot (-3))j + (4 cdot 4 - 6 cdot (-3))k &= (12 + 32)i - (8 - 24)j + (16 + 18)k &= 44 i + 16 j + 34 k é . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar esse resultado por 3:
3 C cdot (2 A times B) = 3 (C cdot (2 A times B))
Primeiro, precisamos calcular o produto escalar .

Passo 6

A vetor C cdot D = c1 d1 + c2 d2 + c3 d3 é C cdot D = (7)(44) + (-8)(16) + (0)(34) = 308 - 128 + 0 = 180 . O produto escalar de com é:
Como e , temos:

Passo 7

Por fim, multiplicamos esse resultado por 3:
3 C cdot (2 A times B) = 3 times 180 = 540

Resposta

O valor de é 540.

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