Mostre que, para uma figura plana colocada no plano , seu momento de inércia

Passo 1

Beleza, galera! O que a gente vai fazer aqui é provar que, se a gente tem uma figura que tá no plano , o momento de inércia em relação ao eixo ( ) é igual à soma dos momentos de inércia nos eixos ( ) e ( ). Isso faz parte da matéria de Mecânica Clássica, especificamente sobre momentos de inércia. Vamos usar umas fórmulas básicas de momento de inércia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de quanta “resistência” um objeto tem para mudar seu movimento de rotação em torno de um eixo. Matematicamente, para um eixo qualquer, o momento de inércia é calculado pela integral , onde é a distância do ponto ao eixo.

Passo 3

Agora, como a figura está no plano , todo ponto da figura tem coordenada . Isso simplifica nossos cálculos porque a distância de cada ponto ao eixo é apenas a distância no plano .

Passo 4

Vamos lembrar da Teorema do Eixo Perpendicular (ou Teorema do Eixo Perpendicular à Figura). Esse teorema diz que para uma figura plana, o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano ( ) é igual à soma dos momentos de inércia em relação a dois eixos perpendiculares dentro do plano ( ).

Passo 5

Aplicando esse teorema à nossa situação, como a figura está no plano , o eixo é perpendicular a esse plano. Então, de acordo com o teorema, a gente tem:

Resposta

Assim, mostramos que para uma figura plana no plano , o momento de inércia em relação ao eixo é igual à soma dos momentos de inércia nos eixos e . Ou seja,

Exercícios relacionados

Uma pessoa está sentada em sua cadeira, que desliza sobre rolamentos sem atrito, sendo empurrada para cima de um plano inclinado em em relação a horizontal. A massa da pessoa e da cadeira somadas é igual a . Ela é empurrada por ao longo do plano inclinado por um grupo de crianças que juntas exercem uma força de 600 N paralela à superfície do plano. Sabendo que a velocidade inicial do sistema pessoa/cadeira é de , use o teorema do trabalho-energia para calcular a sua velocidade no topo do plano inclinado.
Determine para os vetores e .
Calcule o momento de inércia de uma chapa fina de lado girando em torno de um eixo perpendicular à chapa, que passa pelo seu centro de massa.
Três massas são colocadas nas posições e . Calcule o momento de inércia em relação aos eixos .