Mostre que, para uma figura plana colocada no plano
, seu momento de inércia
Passo 1
Beleza, galera! O que a gente vai fazer aqui é provar que, se a gente tem uma figura que tá no plano
, o momento de inércia em relação ao eixo
(
) é igual à soma dos momentos de inércia nos eixos
(
) e
(
). Isso faz parte da matéria de Mecânica Clássica, especificamente sobre momentos de inércia. Vamos usar umas fórmulas básicas de momento de inércia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de quanta “resistência” um objeto tem para mudar seu movimento de rotação em torno de um eixo. Matematicamente, para um eixo qualquer, o momento de inércia é calculado pela integral
, onde
é a distância do ponto ao eixo.
Passo 3
Agora, como a figura está no plano
, todo ponto da figura tem coordenada
. Isso simplifica nossos cálculos porque a distância de cada ponto ao eixo
é apenas a distância no plano
.
Passo 4
Vamos lembrar da Teorema do Eixo Perpendicular (ou Teorema do Eixo Perpendicular à Figura). Esse teorema diz que para uma figura plana, o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano (
) é igual à soma dos momentos de inércia em relação a dois eixos perpendiculares dentro do plano (
).
Passo 5
Aplicando esse teorema à nossa situação, como a figura está no plano
, o eixo
é perpendicular a esse plano. Então, de acordo com o teorema, a gente tem:
Resposta
Assim, mostramos que para uma figura plana no plano
, o momento de inércia em relação ao eixo
é igual à soma dos momentos de inércia nos eixos
e
. Ou seja,