Mostre que, para uma figura plana colocada no plano (x, z), seu momento de inércia Iy y=Ix x+Iz z

Passo 1

Beleza, galera! O que a gente vai fazer aqui é provar que, se a gente tem uma figura que tá no plano , o momento de inércia em relação ao eixo ( ) é igual à soma dos momentos de inércia nos eixos ( ) e ( ). Isso faz parte da matéria de Mecânica Clássica, especificamente sobre momentos de inércia. Vamos usar umas fórmulas básicas de momento de inércia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de quanta “resistência” um objeto tem para mudar seu movimento de rotação em torno de um eixo. Matematicamente, para um eixo qualquer, o momento de inércia é calculado pela integral , onde é a distância do ponto ao eixo.

Passo 3

Agora, como a figura está no plano , todo ponto da figura tem coordenada . Isso simplifica nossos cálculos porque a distância de cada ponto ao eixo é apenas a distância no plano .

Passo 4

Vamos lembrar da Teorema do Eixo Perpendicular (ou Teorema do Eixo Perpendicular à Figura). Esse teorema diz que para uma figura plana, o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano ( ) é igual à soma dos momentos de inércia em relação a dois eixos perpendiculares dentro do plano ( ).

Passo 5

Aplicando esse teorema à nossa situação, como a figura está no plano Iyy = Ixx + Izz , o eixo é perpendicular a esse plano. Então, de acordo com o teorema, a gente tem:

Resposta

Assim, mostramos que para uma figura plana no plano Iyy = Ixx + Izz , o momento de inércia em relação ao eixo é igual à soma dos momentos de inércia nos eixos e . Ou seja,

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