Determine em cada caso a seguir, um vetor unitário paralelo á reta dad
a reta que passa pelo ponto A(2,-1,0) e tem direção perpendicular ao vetor (-2,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma reta que passa pelo ponto e quer encontrar um vetor unitário que seja paralelo a essa reta. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre vetores e geometria vetorial. Para resolver, precisamos entender que o vetor que procuramos deve ser perpendicular ao vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. Então, se chamarmos o vetor que queremos de v cdot (-2, 0, 1) = 0 , temos que:
-2a + 0b + 1c = 0 implies -2a + c = 0
Isso significa:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar as componentes do vetor c = 2a . Podemos expressar c = 2 times 1 = 2 em função de v = (1, 0, 2) :
Para simplificar, vamos escolher . Então, temos:
E podemos escolher para facilitar. Assim, nosso vetor fica:

Passo 4

Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com módulo igual a 1. Primeiro, calculamos o módulo de |v| = raiz1^2 + 0^2 + 2^2 = raiz1 + 0 + 4 = raiz5 :

Passo 5

Para obter o vetor unitário, dividimos cada componente de u = ( 1raiz5, 0raiz5, 2raiz5 ) = ( 1raiz5, 0, 2raiz5 ) pelo seu módulo:

Resposta

Um vetor unitário paralelo à reta é:
u = ( 1raiz5, 0, 2raiz5 )

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